Ebenengleichung Überblick: Parameterform, Normalenform, Koordinatengleichung

Ebenengleichung in Parameterform

Sei $E$ eine Ebene. Dann lässt sich die Ebene darstellen durch eine Gleichung der Form $$ x = \left(\begin{matrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left(\begin{matrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{matrix} \right) + s \cdot \left(\begin{matrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{matrix} \right) \qquad (r,s \in \mathbb{R}) $$

Der Vektor $ \vec p $ heißt Stützvektor von $E$ , weil $ \vec p = \vec{OP} $ die Ebene im Punkt $P$ stützt. Des Weiteren sind die Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ linear unabhängig und heißen Spannvektoren, weil sie die Ebene aufspannen.

Koordinatengleichung einer Ebenen

Sei $E$ eine Ebene. Dann lässt sich die Ebene darstellen durch $$ ax_1 + bx_2 + cx_3 = d $$

wobei $ a, b, c \in \mathbb{R} $ und mindestens einer der drei Koeffizienten $a, b$ oder $c$ ungleich $0$ ist.

Normalenform der Ebenengleichung

Sei $E$ eine Ebene und $ \vec p$ ein Stützvektor von $E$. Die Ebene lässt sich beschreiben durch die Gleichung: $$ (\vec x - \vec p ) \cdot \vec n = 0 $$

Hierbei ist $\vec n$ ein Normalenvektor, d.h. er ist orthogonal zu zwei gegebenen linear unabhängigen Spannvektoren von $E$.