Parameterform Erklärung: Definition und Umformungen

18 April 2024

#Analytische Geometrie, #Ebenen, #Abitur

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Erklärung

Definition Parameterform

Sei $E$ eine Ebene. Dann lässt sich die Ebene darstellen durch eine Gleichung der Form $$ x = \left(\begin{matrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left(\begin{matrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{matrix} \right) + s \cdot \left(\begin{matrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{matrix} \right) \qquad (r,s \in \mathbb{R}) $$

Der Vektor $ \vec p $ heißt Stützvektor von $E$ , weil $ \vec p = \vec{OP} $ die Ebene im Punkt $P$ stützt. Des Weiteren sind die Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ linear unabhängig und heißen Spannvektoren, weil sie die Ebene aufspannen.

Parameterform in Koordinatenform

Alternative 1

Stelle die Gleichung der Ebene in Parameterform als lineares Gleichungssystem dar, d.h. $$ x_1 = p_1 + r \cdot u_1 + s \cdot v_1 x_2 = p_2 + r \cdot u_2 + s \cdot v_2 x_3 = p_3 + r \cdot u_3 + s \cdot v_3 $$

Anschließend forme das Gleichungssystem so um, dass in einer Gleichung die Parameter $s$ und $r$ wegfallen.

Die Gleichung ohne Parameter ist eine Koordinatengleichung der Ebene.

Beispiel

Gegeben ist die folgende Ebenengleichung: $$ E:x = \left(\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) + r \left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right) + s \left(\begin{matrix} 0 \\ -5 \\ 8 \end{matrix} \right) $$

Hieraus erhält man folgendes Gleichungssystem: $$ x_1 = 5 + 1r + 0s \\ x_2 = 2 + 0r -5s \\ x_3 = 3 + 2r + 8s \\ $$

Diese Gleichung kann man wie folgt umformen: $$ x_1 = 5 + 1r + 0s \\ x_2 = 2 + 0r -5s \\ -2x_1 + x_3 = -7 + 0r + 8s \\ $$

Und wir erhalten schließlich: $$ x_1 = 5 + 1r + 0s \\ x_2 = 2 + 0r -5s \\ -10x_1 + 8x_2 + 5x_3 = -19 \\ $$

Damit erhalten wir die folgene Koordinatendarstellung für die Ebene E: $$ E: -10x_1 + 8x_2 + 5x_3 = -19 $$

Alternative 2

Bestimme einen Vektor $n$, der auf beide Spannvektoren orthogonal steht, d.h. das folgende Gleichungssystem erfüllt: $$ u_1 \cdot n_1 + u_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot n_3 = 0 \\ v_1 \cdot n_1 + v_2 \cdot n_2 + v_3 \cdot n_3 = 0 $$

Dieser Vektor liefert die Koeffizienten der Koordinatengleichung: $$ n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d $$

Zur Berechnung von $d$ setze für $x_1, x_2$ und $x_3$ die Werte des Stützvektors ein.

Beispiel

Dann: $$ 1 \cdot n_1 + 0 \cdot n_2 + 2 \cdot n_3 = 0 \\ 0 \cdot n_1 - 5 \cdot n_2 + 8 \cdot n_3 = 0 $$

Daraus folgt: $$ n_1 = -2 \cdot n_3 \\ n_2 = \frac{8}{5} \cdot n_3 $$

Wähle $n_3 = 8$, dann folgt $n_1 = -16$ und $n_2 = 5$.

Also $-16x_1 + 5x_2 + 8x_2 = d$

Zur Bestimmung von $d$ setze den Stützvektor ein: $$ d = -16 \cdot 5 + 5 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = -80 + 10 + 9 = -61. $$

Somit ist die Koordinatengleichung: $$ E: -16x_1 + 5x_2 + 8x_2 = -61 $$

Parameterform in Normalenform

Bestimme einen Vektor n, der auf beide Spannvektoren orthogonal steht, d.h. das folgende Gleichungssystem erfüllt: $$ u_1 \cdot n_1 + u_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot n_3 = 0 \\ v_1 \cdot n_1 + v_2 \cdot n_2 + v_3 \cdot n_3 = 0 $$

Somit ist die Normalenform gegeben durch: $$ (x-p) \cdot n = 0 $$ wobei $p$ der Stützvektor aus der Parameterform ist.

Beispiel: Teilbarkeit von Zahlen

Gegeben ist die folgende Ebenengleichung: $$ E:x = \left(\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) + r \left(\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ 1 \end{matrix} \right) + s \left(\begin{matrix} 4 \\ -5 \\ 8 \end{matrix} \right) $$

Dann: $$ 4 \cdot n_1 + 7 \cdot n_2 + 1 \cdot n_3 = 0 \\ 4 \cdot n_1 - 5 \cdot n_2 + 8 \cdot n_3 = 0 $$

Durch Umformung: $$ 4 \cdot n_1 + 7 \cdot n_2 + 1 \cdot n_3 = 0 \\ 0 \cdot n_1 +12 \cdot n_2 + -7 \cdot n_3 = 0 $$

Und schließlich: $$ 4 \cdot n_1 + 7 \cdot n_2 + 1 \cdot n_3 = 0 \\ n_2 = \frac{7}{12}n_3 $$

Wähle $n_3 =12$, dann folgt $n_2 =7$ und $4 \cdot n_1 - 5 \cdot 7 + 8 \cdot 12 =0 \Leftrightarrow n_1 = -\frac{61}{4} = - 15,25$. Somit ist die Normalenform: $$ \left(x - \left(\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \right) \cdot \left(\begin{matrix} -15,25 \\ 7 \\ 12 \end{matrix} \right) = 0 $$

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