Zwei Kugeln können 5 verschiedene Lagebeziehungen zueinander haben, die sich anhand der beiden Kugelradien $r_1$ und $r_2$ sowie dem Abstand zwischen den Kugelmittelpunkten $d(M1; M2)$ unterscheiden lassen.
1. Lagebeziehung: $\left|r_1-r_2\right| \gt d(M_1;M_2)$
Die Kugel mit dem kleineren Radius liegt ganz innerhalb der Kugel mit dem größeren Radius.
Für die Kugeln: $$ K_1 : (x_1 +2)^2 + (x_2 - 2)^2 + (x_3 - 5)^2 = 25 \\ K_2 : (x_1 + 1,5)^2 + (x_2 - 1)^2 + (x_3 - 6)^ 2 = 4 $$ gilt $r_1=5$, $r_2 = 2$ und $d(M_1;M_2)=\sqrt{(2-1,5)^2 + (-2(-1))^2 + (-5-(6))^2} = \sqrt{2,25} = 1,5$. Wegen $ |r_1 - r_2| = |5 - 2| = 3 \gt 1,5 $ liegt $K_2$ ganz innerhalb von $K_1$.
2. Lagebeziehung: $\left|r_1-r_2\right| = d(M_1;M_2)$
Die Kugel mit dem kleineren Radius berührt die Kugel mit dem größeren Radius von innen (sind die Radien gleich, dann sind die Kugeln identisch). In diesem Fall ist der Berührpunkt einer der beiden Schnittpunkte der Geraden durch die Kugelmittelpunkte mit z.B. $K_1$ (und zwar derjenige Schnittpunkt, der auch auf $K_2$ liegt, was sich durch eine Punktprobe feststellen lässt).
Für die Kugeln $$ K_1 : (x_1 - 4)^2 + (x_2 - 2)^2 + (x_3 - 5)^2 = 12 \\ K_2 : (x_1 - 5)^2 + (x_2 - 3)^2 + (x_3 -4)^2 = 3 $$ gilt $ |r_1 - r_2| = |12 - 3| = |2 3 - 3| = 3$ und $d(M_1;M_2) = 3$, die kleinere Kugel $K_2$ berührt also $K_1$ von innen. Die Gerade durch die Kugelmittelpunkte $M_1(4|2|5)$ und $M_2(5|3|4)$ hat die Gleichung $$ \vec{x} =\left(\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{matrix} \right) +t\left(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right) $$ Die Schnittpunkte dieser Geraden mit $K_1$ ergeben sich durch Einsetzen der Koordinaten aus der Geradengleichung in die Kugelgleichung. Die Gleichung wird nach $t$ aufgelöst und die beiden Lösungen $t_1 = 2$ und $t_2 = -2$ in die Geradengleichung eingesetzt, was die Schnittpunkte $S_1(6|4|3)$ und $S_2(2|0|7)$ liefert. Da nur $S_1$ auch auf $K_2$ liegt (Punktprobe) ist dies der gemeinsame Berührpunkt der Kugeln.
3. Lagebeziehung: $\left|r_1-r_2\right| \lt d(M_1;M_2)$ und $d(M_1;M_2) \lt r_1 + r_2$
In diesem Fall haben die beiden Kugeln einen Schnittkreis gemeinsam, dessen Mittelpunkt und Radius berechnet werden können. Dazu wird zuerst die sogenannte "Schnittebene" der Kugeln aufgestellt. Diese ergibt sich, indem die beiden Kugelgleichungen (bei denen jeweils zuerst $r_2$ auf die linke Seite gebracht werden muss) gleichgesetzt werden, was nach Anwendung der binomischen Formeln und Vereinfachen eine Ebenengleichung liefert. Schnittkreismittelpunkt und Schnittkreisradius ergeben sich dann, indem die Schnittebene mit einer der beiden Kugeln geschnitten wird.
$$ K_1 : (x_1 - 3)^2 + (x_2 - 3)^2 + (x_3 + 0,5)^2 = 42,25 \\ K_2 : (x_1 - 4)^2 + (x_2 - 2)^2 + (x_3 + 1)^2 = 49 $$ Es gilt $|r_1 - r_2| = |6,5 - 7| = 0,5, \quad d(M1;M2)=1,5$ und $r_1 + r_2 = 13,5$. Somit haben die beiden Kugeln einen Schnittkreis. Zur Berechnung von Schnittkreismittelpunkt und -radius bestimmen wir erstmal die Gleichung der Schnittebene: $$ (x_1 - 3)^2 + (x_2 -3)^2 + (x_3 + 0,5)^2 - 42,25 = (x_1 - 4)^2 + (x_2 - 2)^2 + (x_3 + 1)^2 - 49 \\ \Leftrightarrow -2x_1 + 2x_2 + x_3 = 4 $$ Schnittkreismittelpunkt und -radius der Kugeln ergeben sich jetzt z.B. aus dem Schnitt dieser Schnittebene mit $K_2$. Die dazugehörige Rechnung ergibt den Schnittkreismittelpunkt $M (2|4|0)$ und den Schnittkreisradius $\sqrt{40}$.
4. Lagebeziehung: $ r_1 + r_2 = d(M_1;M_2)$
Hier berühren sich die beiden Kugeln von außen. Der Berührpunkt ergibt sich analog zu dem 2. Beispiel, indem du die Verbindungsgerade durch die Kugelmittelpunkte mit einer der Kugeln schneidest.
$$ K_1 : (x_1 + 3)^2 + (x_2 + 2)^2 + (x_3 -9)^2 = 21 \\ K_2 : x^{2}_{1} +(x_2 - 4)^2 + (x_3 + 3)^2 =84 \\ \Rightarrow d(M1;M2)= \sqrt{189} = 3 \cdot \sqrt{21}; r_1 + r_2 = \sqrt{21} +\sqrt{84} = \sqrt{21} + 2\sqrt{21} = 3\sqrt{21} $$ Wegen $r_1 + r_2 = d(M1; M2)$ berühren sich die Kugeln also von außen - die Berechnung des Berührpunkts erfolgt mithilfe der Verbindungsgeraden durch die Kugelmittelpunkte: $$ \vec{x} =\left(\begin{matrix} -3 \\ -2 \\ 9 \end{matrix} \right) +t\left(\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ -12 \end{matrix} \right) $$ Der Schnitt dieser Geraden mit z.B. $K_1$ ergibt die Punkte $S_1(-2|0|5)$ und $(-4|- 4|13)$. Von diesen liegt nur $S_1$ auch auf $K_2$, deshalb ist $S_1$ der gemeinsame Berührpunkt von $K_1$ und $K_2$.
5. Lagebeziehung: $ r_1 + r_2 \lt d(M_1; M_2) $
Die Kugeln liegen außerhalb voneinander und haben keine gemeinsamen Punkte.
$$ K1 : (x_1 +1)^2 +(x_2 - 2)^2 + (x_3 -7)^2 = 4 \\ K2 : (x_1 + 5)^2 + (x_2 - 4)^2 + (x_3 -3)^2 = 9 $$ Hier gilt $ r_1 + r_2 = 5 $ und $ d(M_1;M_2)= \sqrt{36} = 6 $, es gilt also $ r_1 + r_2 = 5 \lt d(M_1;M_2)$, d.h. die Kugeln sind getrennt voneinander.
