Lage Gerade-Kugel

$$ K : (x_1 - 2)^2 + (x_2 +1)^2 + (x_3 - 1)^2 = 9 $$

$$ g_1 : \vec x = \left(\begin{matrix} 5 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right) + t \left(\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) $$

$$ g_2 : \vec x = \left(\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) + t \left(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right) $$

$$  g_3 : \vec x = \left(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right) + t \left(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right) $$

$ K \cap g_1 $: Einsetzen der Koordinaten aus der Gleichung für g1 führt zu $$ (5-t-2)^2 +(-1+t+1)^2 + (1 + t - 1)^2 = 9 \\ \Leftrightarrow (3 - t)^2 + t^2 + t^2 = 9 \\ \Leftrightarrow 9 - 6t + t^2 + 2t^2 = 9 \\ \Leftrightarrow 3t^2 - 6t = 0 $$ mit $t_1 = 0$ und $t_2 = 2$ als Lösungen, die wir wieder in die Geradengleichung einsetzen. Die zwei Durchstoßpunkte sind dann $S_1(5|-1|1)$ und $S_2(3|1|3)$.

$ K \cap g_2 $: Wir gehen mit $x_1 = 5 + 2t$, $x_2 = 1$ und $x_3 = 2 + t$ wieder in die Kugelgleichung: $$ (5-t-2)^2 +(-1+1)^2 + (2 - t - 1)^2 = 9 \\ \Leftrightarrow 9 + 12t + 4t^2 + 4 + t^2 - 2t +1 = 9 \\ \Leftrightarrow 5t^2 +10t + 5 = 0 $$ Die Lösungsformel hat nur eine Lösung $t = -1$, die wir in die Gleichung für $g_2$ einsetzen, was den Berührpunkt $B(3|1|3)$ ergibt.

$ K \cap g_3 $: Wie in den zwei obigen Fällen kommen wir auch hier auf eine quadratische Gleichung für $t$: $$ (2+2t-2)^2 +42 +(1-t-1)^2 = 9 \Leftrightarrow 5t^2 = -7 $$ Diese Gleichung hat keine Lösung. Die Gerade schneidet die Kugel deshalb in keinem Punkt.