Lagebeziehungen und Schnittberechnung: Punkt - Kugel

30 August 2020

#Kugel, #Lagebeziehungen, #Punkte, #Abitur

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Erklärung

Auch hier setzt Du den Punkt $P$ bzw. die Koordinaten $p_1$, $p_2$ und $p_3$ in die jeweils vorgegebene Kugelform ein.

$P$ liegt genau dann auf der Kugel, wenn die Gleichung aufgeht. Außerdem kann man sehen ob ein Punkt innerhalb oder außerhalb der Kugel liegt.

Innerhalb liegt er nämlich, wenn der Wert der linken Seite der Kugelgleichung nach Einsetzen von $P$ kleiner als $r_2$ (bei der Kugelform), bzw. kleiner als 0 (bei der quadratischen Form) ist. Ist er größer als $r_2$ bzw. $0$, dann liegt $P$ außerhalb der Kugel.

Beispiel

$P_1(0|1|3)$, $P_2(2|0|3)$ und $P_3(1|-1|5)$ und zwei Kugeln sind gegeben:

$$ K_1 : (x_1-3)^2 +(x_2+2)2 + x_23 = 14 \\ K_2 : x^{2}_{1} + x^{2}_{2} + x^{2}_{3} + 2x_1 - 8x_3 + 13 = 0 $$

Der zweite Punkt $P_2$ liegt auf $K_1$, da $(2-3)^2 + (0+2)^2 + 32 = 14$, und $P_3$ befindet sich wegen $(1-3)^2 + (-1+2)^2 + 52 = 30 > 14$ außerhalb von $K_1$.

Jetzt wird noch $P_1$ in die zweite Gleichung eingesetzt: $0^2 + 1^2 + 3^2 + 2 \cdot 0 - 8 \cdot 3 + 13 = -1 < 0$. Das bedeutet, $P_1$ liegt innerhalb von $K_2$.

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