Lagebeziehungen und Schnittberechnung: Punkt - Gerade
Um zu sehen ob ein bestimmter Punkt $P$ auf einer vorgegebenen Gerade $g$ liegt, setzt Du $\vec p $ für $\vec x $ in die Parameterform von $g$ ein, also $ \vec p = \vec u + t\vec v$ und schreibst das als Gleichungssystem hin: $$ p_1 = u_1+tv_1 \\ p_2 = u_2+tv_2 \\ p_3 = u_3+tv_3 $$
Wenn sich aus allen drei Gleichungen dasselbe t ergibt, dann liegt P auf g, sonst nicht.
Beispiel
Aus $P_1(3|1|9)$ und $P_2(0|0|3)$ und der Geraden $ g : \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} $ entstehen zwei Gleichungssystem: $$ 3 = 1 + 2t \\ 1 = 2 - t \\ 9 = 3 + 6t $$ und $$ 0 = 1 + 2t \\ 0 = 2 - t \\ 3 = 3 + 6t $$
Alle Gleichungen des ersten Gleichungssystems ergeben $t = 1$, und damit liegt $P_1$ auf g. Im zweiten System liefern die ersten beiden Gleichungen $t = -\frac{1}{2} $ bzw. $t = 2$, deshalb liegt $P_2$ nicht auf g.
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