Kugelscharen erklärt mit Beispielen

06 Dezember 2020
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Erklärung

Was bei den Geraden- und Ebenenscharen gilt, kann man auch über Kugelscharen sagen. In der Gleichung für die Kugel kommt ein Scharparameter vor, der meistens aufgrund von Forderungen an die Kugel bestimmt werden soll.

Außerdem solltest Du selbst die Gleichung einer Kugelschar aufstellen können, deren Kugeln alle einen festen gegebenen Radius haben, und deren Mittelpunkte auf einer vorgegebenen Geraden liegen.

 

 

Beispiel 1

Bestimme die Schar aller Kugeln mit dem Radius $r = 3$, deren Mittelpunkte auf der Geraden $ \vec{x} = \left(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ -6 \end{matrix} \right) + s\left(\begin{matrix} 2 \\ -2 \\ 7 \end{matrix} \right) $ liegen.

Die Mittelpunktskoordinaten sollen auf der Geraden liegen, für sie gilt deshalb $m_1 = 2s$, $m_2 = 3 - 2s$ und $m_3 = -6 + 7s$. Mit $r^2 = 9$ lässt sich dann die Kugelform der Schar hinschreiben: $$ (x_1 - 2s)^2 + (x_2 - (3 - 2s))^2 + (x_3 - (-6 + 7s))^2 = 9 \\ \Leftrightarrow (x_1 - 2s)^2 + (x_2 - 3 + 2s)^2 + (x_3 + 6 - 7s)^2 = 9 $$

 

Beispiel 2

Wir betrachten die Kugelschar $K_s : (x_1 +1)^2 +(x_2 - 2_s)^2 + (x_3 + 3s)^2 = 4$, und die Ebene $E$ mit der Koordinatenform $ -x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5$.

Gesucht sind diejenigen Kugeln aus der Schar, die $E$ berühren. Die Kugel und die Ebene berühren sich genau dann, wenn der Abstand $d(M;E)$ zwischen Kugelmittelpunkt $M(-1|2s|-3s)$ und Ebene gleich dem Radius der Kugel ist.

Wir berechnen diesen Abstand zu: $$ d(M;E)= \left|\frac{1+4s-6s-5}{3} \right|= \frac{\left|-(4+2s)\right| }{3} =\frac{\left|4+2s\right| }{3} $$ in Abhängigkeit von $s$. Damit gilt dann bei Berührung: $$ \frac{\left|4+2s\right| }{3} =2\Leftrightarrow \left|4+2s\right|=6 $$ mit den zwei Lösungen $s=1$ und $s=-5$.

 

Beispiel 3

Welche Kugel der Schar $K_s: (x_1 + 3)^2 + (x_2 - s)^2 + (x_3 + 2s -1)^2 = 1 $ hat einen Mittelpunkt, der auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $ g:\vec{x} = \left(\begin{matrix} -3 \\ 2 \\ -3 \end{matrix} \right) + t \left(\begin{matrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \right) $ liegt?

Die Mittelpunkte der Scharkugeln haben die drei Koordinaten $m_1 = -3$, $m_2 = s$ und $m_3 = 1 - 2s$, d.h. sie liegen auf der Mittelpunktgeraden h mit der Gleichung: $$ h:\vec{x} = \left(\begin{matrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) + t \left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{matrix} \right) $$

Um zu sehen, für welchen Wert von $s$ der Mittelpunkt von $K_s$ auf $g$ liegt, wird der Schnittpunkt von $g$ mit $h$ berechnet. Dabei ergibt sich nach Gleichsetzen der Geradengleichungen und Lösung des Gleichungssystems für $s$ der Wert $s = 2$ mit dem zugehörigen Kugelmittelpunkt $M(-3|2|-3)$.

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