Spiegelung Punkt an Ebene
Einen Punkt $P$ spiegelst Du an einer Ebene $E$, indem Du den Lotfußpunkt $L$ der Lotgeraden durch $P$ auf $E$ ausrechnest.
Den Spiegelpunkt $P'$ bekommst Du durch $\vec{p'} = \vec{p} + 2(\vec{l}-\vec{p})$ (von $P$ zweimal in Richtung von $P$ nach $L$ weitergehen).
Beispiel
$P(7|-3|5)$ soll an $E : 6x_1 -4x_2 + 3x_3 -8 = 0$ gespiegelt werden.
Die Lotgerade hat die Gleichung: $$ \vec{x} =\left(\begin{matrix} 7 \\ -3 \\ 5 \end{matrix} \right) +t\left(\begin{matrix} 6 \\ -4 \\ 3 \end{matrix} \right) $$
Mit $E$ geschnitten gibt das den Lotfußpunkt $L(1|1|2)$. Jetzt haben wir $P'$: $$ \vec{p} =\vec{p}+2(\vec{l}-\vec{p})=\left(\begin{matrix} 7 \\ -3 \\ 5 \end{matrix} \right) +2\left[\left(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right)-\left(\begin{matrix} 7 \\ -3 \\ 5 \end{matrix} \right) \right] = \left(\begin{matrix} -5 \\ 5 \\ -1 \end{matrix} \right) $$
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