Normalenform in Koordinatenform
Bilde das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren, die in der Parameterform stehen. Das Ergebnis des Kreuzprodukts ist ein Normalenvektor der Ebene, die drei Komponenten dieses Vektors sind also die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ der gesuchten Koordinatengleichung $ax1 +bx2 +cx3 +d=0$.
Überprüfe immer, ob du den Normalenvektor korrekt berechnet hast, indem du des- sen Skalarprodukt mit beiden Richtungsvektoren berechnest. Beide Skalarprodukte müssen den Wert null ergeben, da der Normalenvektor senkrecht zur Ebene, also auch zu beiden Richtungs- vektoren stehen muss.
$d$ ergibt sich durch Einsetzen der drei Koordinaten des Stützvektors in die Koordinatengleichung.
Beispiel
Das Vektorprodukt der Richtungsvektoren ergibt den Normalenvektor
$$ \vec n = \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \cdot 8 - 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 6 - (-1) \cdot8 \\ (-1) \cdot 1- 6\cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 45 \\ 23 \\ -31 \end{pmatrix}$$
Probe (das Skalarprodukt mit beiden Richtungsvektoren muss null ergeben):
$$ \begin{pmatrix} 45 \\ 23 \\ -31 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} = 45 \cdot (-1) + 23 \cdot 6 + (-31) \cdot 3 = 0 $$ $$ \begin{pmatrix} 45 \\ 23 \\ -31 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} = 45 \cdot (5) + 23 \cdot 1 + (-31) \cdot 8 = 0 $$
Aus dem Normalenvektor ergibt sich jetzt die provisorische Koordinatenform $45x_1 + 23x_2 - 31x_3 + d = 0$.
Durch Einsetzen des Stützvektors aus der Parameterform in diese Gleichung bekommen wir dann auch noch $d$: $45 \cdot 2 + 23 \cdot 3 - 31 \cdot 0 + d = 0 \Rightarrow d = -159$
Die gesuchte Koordinatengleichung lautet also: $$ 445x_1 + 23x_2 - 31x_3 - 159 = 0 $$
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