Koordinatenform in Parameterform
Du substituierst zwei von den Variablen $ x_1, x_2, x_3 $ mit $s$ und $t$ und löst die Koordinatenform $ax_1 + bx_2 + cx_3 + d = 0$ nach einer der vorkommenden Variablen auf, z.B. nach $ x_3 $ falls $ c \neq 0 $. Dann bekommst Du so ein Gleichungssystem:
$$ x_1 = s \\ x_2 = t \\ x_3 = - \frac{d}{c} - \frac{a}{c}s - \frac{b}{c}t \\ $$
Dieses Gleichungssystem kann jetzt in die gesuchte Parameterform der Ebene umgeschrieben werden.
Beispiel
Ist die Koordinatenform einer Ebene gegeben durch $ x_1 + 2x_2 - 5 = 0 $, dann kann man z.B. $ x_2 = s $ und $ x_3 = t $ setzen und nach $ x_1 $ auflösen: $$ x_1 = 5 - 2s \\ x_2 = s \\ x_3 = t \\ $$
Daraus folgt dann die Parameterform:
$$ \vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 2s \\ s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
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