Winkel zwischen Gerade und Ebene

15 November 2020
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Erklärung

Von der Geraden nimmst Du den Richtungsvektor $\vec{v}$, von der Ebene den Normalenvektor $\vec{n}$, und setzt sie in die folgende Formel ein: $$ cos \alpha=\frac{\vec{x} \bullet \vec{y} }{\left|\vec{x} \right| \cdot \left|\vec{y} \right| } $$

 

Beispiel

Wir werden in diesem Beispiel den Winkel zwischen der Geraden $g$ und der Ebene $E$ bestimmen: $$ g:\vec{x}=\left(\begin{matrix} 2 \\ -5 \\ 1 \end{matrix} \right) + t\left(\begin{matrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ E:2x_1-3x_3+1=0 $$

Es gilt dann: $$ sin (\alpha) =\frac{\left|\vec{n} \bullet \vec{v}\right| }{\left|\vec{n} \right| \cdot \left|\vec{v} \right| } \\ = \frac{\left|2\cdot(-3)+0\cdot 1+(-3)\cdot 1 \right| }{\sqrt{2^2+0+(-3)^2} \sqrt{(-3)^2+1^2+1^2} } \\ =\frac{9}{\sqrt{143} } $$

Damit ist der Winkel $ \alpha =arcsin\frac{9}{\sqrt{143}}\approx 48,8 ^{\circ}$.

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