Multiplikationssatz Definition und Beispiel

In einer Urne befinden sich 12 Kugeln, 4 davon sind weiß und 8 rot. Zwei Kugeln werden gezogen, wobei die entnommenen Kugeln nicht in die Urne zurückgelegt werden (Ziehen ohne Zurücklegen).
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei weiße Kugeln zu ziehen?

Lösung

Wir definieren die Ereignisse:
$A_1$: Die erste gezogene Kugel ist weiß
$A_2$: Die zweite gezogene Kugel ist weiß

Da vor der 1. Ziehung unter den 12 Kugeln 4 weiße Kugeln sind, gilt: $ P(A_1) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $

Die Wahrscheinlichkeit, bei der 2. Ziehung eine weiße Kugel zu ziehen, ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Wenn bei der 1. Ziehung eine weiße Kugel gezogen wurde, befinden sich vor der 2. Ziehung unter den 11 Kugeln noch 3 weiße Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit, bei der 2. Ziehung eine weiße Kugel zu ziehen, unter der Bedingung, dass bei der 1. Ziehung eine weiße Kugel gezogen wurde, beträgt deshalb: $$ P (A_2 | A_1) = \frac{3}{11} $$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, zwei weiße Kugeln zu ziehen, beträgt dann: $$ P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{33} = \frac{1}{11} $$

Zu beachten ist, dass diese Wahrscheinlichkeit abhängig von der Ziehungsmethode ist. Wenn nach der ersten Ziehung die entnommene Kugel in die Urne zurückgelegt (Ziehen mit Zurücklegen), wäre $P(A_2 | A_1) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $ und damit: $$ P(A_1 \cap A_2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} = 0,11 $$