Kosinussatz einfach erklärt: Formel, Beispiel, Aufgaben

Little Gauss
19 September 2024
#Kosinussatz, #Trigonometrie
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Was ist der Kosinussatz? Kosinussatz Formel und Erklärung
Erklärung

Was ist der Kosinussatz? Kosinussatz Formel und Erklärung

  • Der Kosinussatz wird auch als trigonometrischer Pythagoras bezeichnet, da man mit dem Kosinussatz wie beim Satz des Pythagoras eine fehlende Seite berechnen kann.
  • Der Satz des Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreiecke, der Kosinussatz gilt für beliebige Dreiecke.
  • In einem beliebigen Dreieck gilt der Kosinussatz:
    • $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\,a\,b\,\cos \gamma $
    • $ b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\,a\,c\,\cos \beta $
    • $ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\,b\,c\,\cos \alpha $
  • Der Kosinussatz stellt eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines Dreiecks und dem Kosinus eines der drei Winkel des Dreiecks her.

 

Gegeben ist ein Dreieck $ABC$ mit den folgenden Seitenlängen:

$a=4cm$;  $b=2cm$;   $c = 3,7cm$ 

Wie groß ist der Winkel $ \beta $?

Laut dem Kosinussatz gilt für den Winkel $ \beta $:

$ b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot \cos \beta $

$  2\cdot a\cdot c\cdot \cos \beta =a^{2}+c^{2}-b^{2} $

$ \cos \beta \,=\,{\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2\cdot a\cdot c}} $

$ = \frac {  (4cm)^2 + (3,7cm)^2 - (2,0cm)^2} {2 \cdot 4 \cdot 3,7} $ $=0,868$

Damit folgt für $ \beta $:

$ \beta =29,8^{\circ } $

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