Pyramide berechnen: Volumen, Oberfläche, Mantelfläche

25 Oktober 2020
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Pyramide Formel: Volumen, Oberfläche, Mantelfläche
Erklärung

Was ist eine Pyramide? Pyramide Eigenschaften

  • Die Pyramide ist ein geometrischer Körper, dessen Grundfläche ein Dreieck, Viereck, Fünfeck usw. ist und von Dreiecken als Seitenfläche begrenzt wird.
  • Die Dreiecke der Pyramide haben einen gemeinsamen Punkt, der die Spitze der Pyramide bildet.
  • Die Dreiecke bilden zusammen die Mantelfläche der Pyramide.
  • Der Abstand der Spitze von der Grundfläche heißt Höhe der Pyramide.
  • Eine dreiseitige Pyramide, deren Kanten alle gleich lang sind, heißt Tetraeder.
  • Eine Pyramide, deren Grundfläche ein Quadrat ist und deren Pyramidenspitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche liegt, heißt quadratische Pyramide.
  • Abhängig von der Grundfläche (Rechteck, Dreieck , Quadrat) werden Pyramiden unterschieden in Rechteckspyramiden, Dreieckspyramiden und Quadratischepyramiden.
  • Die Mantelfäche der Pyramide besteht aus Dreiecken.

 

Volumen Pyramide berechnen: Cheops-Pyramide

Indiana Jones möchte das Volumen der Cheops-Pyramide ausrechnen.

Auf Wikipedia erfährt er, dass die Pyramide ursprünglich $146m$ hoch war und eine Seitenlänge von $230m$ hat.

Wie groß ist das Volumen der Cheops Pyramide? 

Für das Volumen der Pyramide gilt: $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$.

Die Grundfläche der Pyramide ist quadratisch und daher gilt für die Grundfläche: $G = a^2 = 230 \cdot 230 = 52.900 m^2$.

Jetzt können wir das Volumen der Pyramide ausrechnen: 

$V = \frac{1}{3} \cdot 52900 \cdot 146 = 2.574.467 m^3$

Die Cheops-Pyramide hat ein Volumen von $2.574.467 m^3$.

 

Oberflächeninhalt Pyramide berechnen

Indiana Jones hat von seinem Vater eine Hausaufgabe aufbekommen:

Berechne die Oberfläche der Cheops-Pyramide.

Er macht sich schlau auf Wikipedia und hat folgende Infos: Die Seitenlänge beträgt $230m$ und die Höhe ist $146m$.

Wie groß ist die Oberfläche und Mantelfläche der Cheops-Pyramide?

Die Oberfläche der Pyramide ist die Summer aller Dreiecksflächen (= Mantelfläche) + die Grundfläche.

Die Grundfläche ist quadratisch und daher beträgt es: $G = a^2 = 230 \cdot 230 = 52.900 m^2$.

Für die Fläche eines Dreiecks gilt: $A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot a  \cdot h_a $.

Wir müssen jetzt die Höhe des Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen mit $d = a \cdot \sqrt{2} = 325m$:

$ h_a = \sqrt{h^2 + \frac{d}{2}^2} = \sqrt{146^2 + \frac{325}{2}^2} = 218m$

Jetzt können wir die Fläche eines Dreiecks ausrechnen $A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot 230  \cdot 218  = 25.122m^2$.

Da wir 4 Dreiecksflächen haben und eine quadratische Grundfläche, können wir die Oberfläche wie folgt berechnen:

$O = 4 \cdot A_{Dreieck} + G = 4 \cdot 25.122 + 52.900 = 153.389 m^2$.

Die Oberfläche der Cheops-Pyramide beträgt $153.389 m^2$.

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Pyramide verschiedene Grundfläche: quadratische Pyramide, Rechteckspyramide, Dreieckspyramide, Sechseckpyramide
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