Satz des Pythagoras einfach erklärt: Formel, Beispiele, Aufgaben

Was ist der Satz des Pythagoras? 

• Mit dem Satz des Pythagoras werden Strecken in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet.
• Der Satz des Pythagoras kann nur auf rechtwinklige Dreiecke angewendet werden - also Dreieck mit einem 90° Winkel.
• Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, bezeichnet man als Hypotenuse (c) und die beiden einschließenden Seiten der Hypotenuse heissen Katheten (a,b).
• Satz des Pythagoras:

Satz des Pythagoras Aufgaben und Anwendung

Berechne Seitenlänge im rechtwinkligen Dreieck

Berechne Streckenlänge im Koordinatensystem

Satz des Pythagoras Beweis

Geometrischer Beweis durch Ergänzung (Wikipedia): In ein Quadrat mit der Seitenlänge $a + b$  werden vier gleiche rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten $a$ , $b$ und $c$ (Hypotenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie im Diagramm dargestellt ist.

Die Flächen des linken und des rechten Quadrates sind gleich (Seitenlänge $a + b$ ). Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenlänge $c$, das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge $a$ und einem mit Seitenlänge $b$. Die Fläche $c^{2}$ entspricht also der Summe der Fläche $a^{2}$ und der Fläche $b^{2}$, also $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

Geometrischer Beweis des Satzes des Pythagoras (Animation)

Eine algebraische Lösung ergibt sich aus dem linken Bild. Das große Quadrat hat die Seitenlänge $a+b$ und somit die Fläche $(a+b)^{2}$. Zieht man von dieser Fläche die vier Dreiecke ab, die jeweils eine Fläche von $ \frac{ab}{2} $ haben, so bleibt die Fläche $c^{2}$ übrig. Es ist also

 $(a+b)^{2}=2ab+c^{2}$.

Auflösung der Klammer liefert

$a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}$.

Zieht man nun auf beiden Seiten $ 2ab$ ab, bleibt der Satz des Pythagoras übrig.