Größter gemeinsamer Teiler Erklärung und Beispiel

maria

16 August 2021

#Größter gemeinsamer Teiler, #Zahlen

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Erklärung

Größter gemeinsamer Teiler Definition

Die Teiler einer Zahl a sind alle Zahlen durch die man a ohne Rest teilen kann. Die Teiler der Zahl 12 sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12
Die gemeinsamen Teiler zweier Zahlen a und b sind also alle Zahlen, die sowohl a, als auch b ohne Rest teilen.
Der Größter gemeinsamer Teiler zweier Zahlen wird als ggT bezeichnet.
Praktisch findet man den ggT(a, b) mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung von a und b. Man geht hierzu wie folgt vor: ggT(36,84):
1. Zerlege die Zahlen in ihre Primfaktoren
Primfaktor(36) = 36 : 2 = 18 : 2 = 9 : 3 = 3 : 3 = 1
Primfaktor(84) = 84 : 2 = 42 : 2 = 21 : 3 = 7 : 7 = 1
2. Unterstreiche jene Primfaktoren, die in beiden Zerlegungen vorkommen: 2, 2, 3
3. Der ggT ist das Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren
ggT(36,84) = $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$

Kettendivision, Euklidischer Algorithmus Erklärung und Beispiel

Man teilt die größere durch die kleinere Zahl. Man teilt immer wieder den Divisor durch den Rest, bis der Rest null herauskommt.
Der letzte Divisor ist der gesuchte ggT.
Bestimme den ggT(126,70) mit Hilfe der Kettendivision:
126 : 70 = 1 Rest 56
70 : 56 = 1 Rest 14
56 : 14 = 4 Rest 0
Damit ist gilt: ggT(126,70) = 14

Beispiel: Größter gemeinsamer Teiler

ggT(2173:1271)
2173 : 1271 = 1 Rest 902
1271 : 902 = 1 Rest 369
902 : 369 = 2 Rest 164
369 : 164 = 2 Rest 41
164 : 41 = 4 Rest 0
ggT(2173, 1271) = 41

ggT(4611,2697)
4611 : 2697 = 1 Rest 1914
2697 : 1914 = 1 Rest 783
1914 : 783 = 2 Rest 348
783 : 348 = 2 Rest 87
348 : 87 = 4 Rest 0
ggT(4611, 2697) = 87

ggT(720,48)
720 = 2 * 360 = 2 * 2 * 180 = 2 * 2 * 2 * 90 = 2 * 2 * 2 * 2 * 45 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 15 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5
48 = 2 * 24 = 2 * 2 * 12 = 2 * 2 * 2 * 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3
ggT(720,48) = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 = 48

ggT(140,28)
140 = 2 * 70 = 2 * 2 * 35 = 2 * 2 * 5 * 7
28 = 2 * 14 = 2 * 2 * 7
ggT(140,28) = 2 * 2 * 7 = 28

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