Größter gemeinsamer Teiler Erklärung und Beispiel

16 August 2021
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Erklärung

Größter gemeinsamer Teiler Definition

  • Die Teiler einer Zahl a sind alle Zahlen durch die man a ohne Rest teilen kann. Die Teiler der Zahl 12 sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12
  • Die gemeinsamen Teiler zweier Zahlen a und b sind also alle Zahlen, die sowohl a, als auch b ohne Rest teilen.
  • Der Größter gemeinsamer Teiler zweier Zahlen wird als ggT bezeichnet.
  • Praktisch findet man den ggT(a, b) mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung von a und b. Man geht hierzu wie folgt vor: ggT(36,84):
    1. Zerlege die Zahlen in ihre Primfaktoren
    Primfaktor(36) = 36 : 2 = 18 : 2 = 9 : 3 = 3 : 3 = 1
    Primfaktor(84) = 84 : 2 = 42 : 2 = 21 : 3 = 7 : 7 = 1
    2. Unterstreiche jene Primfaktoren, die in beiden Zerlegungen vorkommen: 2, 2, 3
    3. Der ggT ist das Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren
    ggT(36,84) = $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$

 

Kettendivision, Euklidischer Algorithmus Erklärung und Beispiel

  • Man teilt die größere durch die kleinere Zahl. Man teilt immer wieder den Divisor durch den Rest, bis der Rest null herauskommt.
  • Der letzte Divisor ist der gesuchte ggT.
  • Bestimme den ggT(126,70) mit Hilfe der Kettendivision:
    126 : 70 = 1 Rest 56
    70 : 56 = 1 Rest 14
    56 : 14 = 4 Rest 0
    Damit ist gilt: ggT(126,70) = 14

 

 

Beispiel: Größter gemeinsamer Teiler

ggT(2173:1271)
2173 : 1271 = 1 Rest 902
1271 : 902 = 1 Rest 369
902 : 369 = 2 Rest 164
369 : 164 = 2 Rest 41
164 : 41 = 4 Rest 0
ggT(2173, 1271) = 41

 

ggT(4611,2697)
4611 : 2697 = 1 Rest 1914
2697 : 1914 = 1 Rest 783
1914 : 783 = 2 Rest 348
783 : 348 = 2 Rest 87
348 : 87 = 4 Rest 0
ggT(4611, 2697) = 87

 

ggT(720,48)
720 = 2 * 360 = 2 * 2 * 180 = 2 * 2 * 2 * 90 = 2 * 2 * 2 * 2 * 45 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 15 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5
48 = 2 * 24 = 2 * 2 * 12 = 2 * 2 * 2 * 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3
ggT(720,48) = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 = 48

 

ggT(140,28)
140 = 2 * 70 = 2 * 2 * 35 = 2 * 2 * 5 * 7
28 = 2 * 14 = 2 * 2 * 7
ggT(140,28) = 2 * 2 * 7 = 28

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