Was sind reelle Zahlen?

Reelle Zahlen $\mathbb{R}$ Definition

• Der Grund, eine weitere Zahlenmenge einzuführen, ist, dass es auch Zahlen gibt, die eine unendlich lange, nicht-periodische Dezimaldarstellung haben und sich damit nicht als rationale Zahlen darstellen lassen, sondern sogenannte irrationale Zahlen sind. Bekannte Beispiele sind die Zahlen $2$ und $\pi$.
• Wir haben $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ mit
  $\mathbb{Z}$ = Menge der ganzen Zahlen (Gruppe bzgl. +)
  $\mathbb{Q}$ = Menge der rationalen Zahlen (Körper bzgl. + und $\cdot$)
  eingeführt, um Gleichungen der Form $m + x = n$ bzw. $m \cdot y = n$ mit $m, n \in \mathbb{N}$ lösen zu köonnen.
  Das reicht aber nicht, wenn man sich mit analytischen Problemen befassen will.
• R ist vollständig, d.h. jeder reellen Zahl entspricht ein Punkt auf der Zahlengeraden und umgekehrt.

Reelle Zahlen $\mathbb{R}$ Beispiel

• Diagonale im Einheitskreis

  Wie groß ist die Länge $d$ der Diagonalen im Einheitsquadrat? 
  Laut Pythagoras gilt $d^2 = 1 + 1 = \sqrt{2} $

• Intervallschachtelung

  Durch eine Intervallschachtelung kann man für jeden Punkt auf der Zahlengeraden den dazugehörenden Dezimalbruch konstruieren.