Was sind rationale Zahlen?

Die rationalen Zahlen werden eingeführt, damit jede Gleichung der Form $a \cdot x = b$ mit $a,b \in \mathbb{Z}, a \neq 0$, lösbar wird. So ist z.B. $x=\frac{4}{5}$ Lösung der Gleichung $5 \cdot x =4$. Für die Menge der rationalen Zahlen schreiben wir: $$ \mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} | p,q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\right\} $$

Rationale Zahlen Definition

• Jede ganze Zahl (und damit auch jede natürliche Zahl) ist als Bruch darstellbar $ 3 = \frac{3}{1} = \frac{15}{5} $.
• Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegen unendlich viele weitere rationale Zahlen.
• Jede rationale Zahl lässt sich als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch darstellen. Beispielsweise gilt: $$ \frac{5}{8} = \frac{625}{1000} = 0,625 \\ \frac{1}{3} = 0,3333... = 0,\overline{3} \\ \frac{13}{90} = 0,1\overline{4} $$
• Ein und dieselbe Bruchzahl kann durch Erweitern und Kürzen unterschiedlich aufgeschrieben werden.
• Erweitern $$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot k }{b \cdot k} \qquad (a \in \mathbb{Z}; b,k \in \mathbb{Z} \setminus \left\{0\right\} ) $$
• Kürzen $$ \frac{a \cdot k}{b \cdot k} = \frac{a}{b} \qquad (a \in \mathbb{Z}; b,k \in \mathbb{Z} \setminus \left\{0\right\} ) $$
• Die Gleichheit zweier Brüche lässt sich mit folgender Beziehung überprüfen: $$ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} \Leftrightarrow a_1 \cdot b_2 = a_2 \cdot b_1, \qquad a_1, a_2 \in \mathbb{Z}; b_1, b_2 \in \mathbb{Z} \setminus \left\{0\right\} \\ \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 8 \cdot 3 = 12 \cdot 2 \Leftrightarrow 24 = 24 $$

Rationale Zahlen Rechenregeln

Für beliebige Brüche $\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}$ mit $a_1, a_2 \in \mathbb{Z}$ und $b_1, b_2 \in \mathbb{Z} \setminus \left\{0\right\}$ gelten die folgenden Rechenregeln:

1. $$\frac{a_1}{b_1} \pm \frac{a_2}{b_1} = \frac{a_1 \pm a_2}{b_1}$$
2. $$\frac{a_1}{b_1} \pm \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_1 \cdot b_2 \pm a_2 \cdot b_1}{b_1 \cdot b_2}$$
   Dabei heißt $b_1 \cdot b_2$ gemeinsamer Nenner von $b_1$ und $b_2$.
3. $$\frac{a_1}{b_1} \cdot \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_1 \cdot a_2}{b_1 \cdot b_2}$$
4. $$\frac{a_1}{b_1} : \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_1}{b_1} \cdot \frac{b_2}{a_2} = \frac{a_1 \cdot b_2}{b_1 \cdot a_2}$$

Rationale Zahlen Beispiel

Beispiel 1

Beispiel 2