Teilbarkeitsregeln Erklärung

Teilbarkeit Definition

• Die Vielfachenmenge einer Zahl $a$ ist die Menge aller Vielfachen von $a$. $$ V(a) = \left\{ x | x = n \cdot a, n \in N\right\} $$ $a$ ist Teiler von $b$, wenn $b$ ein Vielfaches von $a$ ist.
  $$ V(6) = \left\{6, 12, 18, 24, ... \right\} \\ V(2) = \left\{\textrm{Menge der geraden Zahlen}\right\} $$
• Für jede natürliche Zahl $a$ gilt $1 | a$ und $a | a$. $$ a|b \Leftrightarrow b=n \cdot a \textrm{ mit } n \in N \\ a|b \textrm{ und } a|c \Rightarrow a|(b+c) \textrm{ und } a|(b−c) \\ a|b \textrm{ und } b|c \Rightarrow a|c $$ $$ 7|35 \textrm{ weil } 35=5 \cdot 7 \\ 9|99 \textrm{ und } 9|27 \Rightarrow 9|(99+27)=126 \\ 12|60 \textrm{ und } 60|180 \Rightarrow 12|180 $$
• Die Teilermenge einer Zahl $a$ ist die Menge aller Teiler von $a$. $$ T(a) = \left\{x|x|a\right\} = \left\{x|x \textrm{ Teiler von } a\right\} $$ Für $ a \geq 2$ ist $ |T(a)| \geq 2$
  $|T(a)|$ ist ungerade $\Leftrightarrow$ a ist Quadratzahl Teilung mit Rest: $$ d:s=eRr \Leftrightarrow d=s \cdot e + r \textrm{ mit } r \lt s $$ $$ T(6) = \left\{1, 2, 3, 6\right\} \\ T(48) = \left\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 16, 12, 16, 48\right\} \\ T(36)= \left\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 \right\} \\ |T(6)| = 4, |T(48)| = 10, |T(36)| = 9 \\ 30 : 7 = 4 R 2 \textrm{ , weil } 30 = 7 \cdot 4 + 2 $$

Teilbarkeitsregeln

• $x$ ist durch $2$ teilbar, wenn die letzte Ziffer von $x$ durch $2$ teilbar oder $0$ ist. $$ 2|1378 \textrm{ , da } 2|8, 2 | 13330 \\ 2 \nmid 4441 \textrm{ , da } 2 \nmid 1 $$
• $x$ ist durch $4$ teilbar, wenn die aus den letzten beiden Ziffern von $x$ gebildete Zahl durch $4$ teilbar oder $00$ ist. $$ 4|1324 \textrm{ , da } 4|24 \\ 4 \nmid 4442 \textrm{ , da } 4 \nmid 42 $$
• $x$ ist durch $5$ teilbar, wenn die letzte Ziffer von $x$ $5$ oder $0$ ist. $$ 5|1375, 5|9970, 5 4 \nmid 5058 $$
• $x$ ist durch $25$ teilbar, wenn die letzten beiden Ziffer von $x$ $00$, $25$, $50$ oder $75$ sind. $$ 25|1375, 25|9900, 25 \nmid 5055 $$
• Die Quersumme (QS) einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. $$ QS(73024)=7+3+0+2+4=16 $$
• Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch $9$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $9$ teilbar ist. $$ 3|1377 \textrm{ weil } QS(1377) = 18 \textrm{ und } 3|18 \\ 3 \nmid 505 \textrm{ weil } QS(505) = 10 \textrm{ und } 3 \nmid 10 \\ 9|5877 \textrm{ weil } QS(5877) = 27 \textrm{ und } 9|27 \\ 9 \nmid 987 \textrm{ weil } QS(987) = 24 \textrm{ und } 9 \nmid 24 $$