Potenzrechnung: Potenzen berechnen mit Potenzgesetzen

22 Oktober 2020
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Erklärung

Grundbegriffe und Definition von Potenzen

  • Potenzen sind eine Kurzschreibweise für die mehrfache Multiplikation mit der gleichen Zahl.
  • Eine Potenz ist somit ein Produkt, dass aus mehreren gleichen Faktoren besteht.
  • Die Anzahl der Faktoren wird als Hochzahl oder Exponent notiert und die Faktoren bezeichnet man als Basis.
  • Jede Potenz mit dem Exponenten 0 hat den Wert 1.
  • Wenn eine Potenz einen negativen Exponenten hat, dann ist sie gleich dem Kehrwert der Basis mit positiver Hochzahl.

$ a \cdot a ... \cdot a = a^n $ n-mal a wird geschrieben als $a^n$. Hier ist $a$ die Basis und $n$ der Exponent.

$ a^0 = 1 $ und $ a^1 = a $

$ a^(-n) = \frac{1}{a^n} $

Einige Beispiele:

$ a \cdot a \cdot a = a^3 $

$ 3 \cdot 3 = 3^2 = 9 $

$ 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4 = 625 $

  

Potenzregeln: Potenzen rechnen mit Regeln

  • Gleiche Basis: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.
  • Gleiche Basis: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.
  • Gleiche Exponenten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basiszahlen multipliziert.
  • Gleiche Exponenten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basiszahlen dividiert.
  • Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.

Gleiche Basis:

$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $   =>   $ 4^2 \cdot 4^3 = 4^{2+3}= 4^5 $

$ a^m \div a^n = a^{m+n} $   =>    $ 4^2 \div 4^3 = 4^{2-3}= 4^{-1} = \frac{1}{4} $

Gleiche Exponenten:

$ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n $   =>   $ 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 $

$ a^n \div b^n = (a \div b)^n (b \neq 0) $   =>   $ 2^3 \div 3^3 = (2 \div 3)^3 = (\frac{2}{3})^3 $

Potenzieren:

$ (a^m)^n = a^{mn} $   =>   $ (2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} $ 

 

Zehnerpotenzen - 10er Potenzen

  • Bei einer Zehnerpotenz gibt eine positive Hochzahl bzw. Exponent die Anzahl der Nullen hinter der 1 an.
  • Bei positiven Hochzahlen gibt die Hochzahl insgesamt die Anzahl der Nullen einer Zahl an.
  • Bei positiven Hochzahlen verschiebt man das Komma um so viele Stellen, wie die Hochzahl angibt. Wenn das nicht reicht, wird mit Nullen aufgefüllt.
  • Bei einer Zehnerpotenz gibt eine negative Hochzahl bzw. Exponent die Anzahl der Stellen hinter dem Komma an. Das Komma wird um die Stellen der Hochzahl nach links verschoben.

$ 10^1 = 10 $      $10^2 = 100$      $10^3 = 1000$

$ 10^{-1} = 0,1$      $10^{-2} = 0,01$       $10^{-3} = 0,001$

$ 400.000 = 4 \cdot 10^5 $

$ 440.000 = 4,4 \cdot 10^5 $

$ 0,0002 = 2 \cdot 10^{-4} $

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