Potenzrechnung: Potenzen berechnen mit Potenzgesetzen

29 März 2023

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Erklärung

Grundbegriffe und Definition von Potenzen

Potenzen sind eine Kurzschreibweise für die mehrfache Multiplikation mit der gleichen Zahl.
Eine Potenz ist somit ein Produkt, dass aus mehreren gleichen Faktoren besteht.
Die Anzahl der Faktoren wird als Hochzahl oder Exponent notiert und die Faktoren bezeichnet man als Basis.
Jede Potenz mit dem Exponenten 0 hat den Wert 1.
Wenn eine Potenz einen negativen Exponenten hat, dann ist sie gleich dem Kehrwert der Basis mit positiver Hochzahl.

$ a \cdot a ... \cdot a = a^n $ n-mal a wird geschrieben als $a^n$. Hier ist $a$ die Basis und $n$ der Exponent.

$ a^0 = 1 $ und $ a^1 = a $

$ a^(-n) = \frac{1}{a^n} $

Einige Beispiele:

$ a \cdot a \cdot a = a^3 $

$ 3 \cdot 3 = 3^2 = 9 $

$ 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4 = 625 $

Gleiche Basis: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.
Gleiche Basis: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.
Gleiche Exponenten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basiszahlen multipliziert.
Gleiche Exponenten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basiszahlen dividiert.
Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.

Gleiche Basis:

$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $ => $ 4^2 \cdot 4^3 = 4^{2+3}= 4^5 $

$ a^m \div a^n = a^{m+n} $ => $ 4^2 \div 4^3 = 4^{2-3}= 4^{-1} = \frac{1}{4} $

Gleiche Exponenten:

$ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n $ => $ 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 $

$ a^n \div b^n = (a \div b)^n (b \neq 0) $ => $ 2^3 \div 3^3 = (2 \div 3)^3 = (\frac{2}{3})^3 $

Potenzieren:

$ (a^m)^n = a^{mn} $ => $ (2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} $

Bei einer Zehnerpotenz gibt eine positive Hochzahl bzw. Exponent die Anzahl der Nullen hinter der 1 an.
Bei positiven Hochzahlen gibt die Hochzahl insgesamt die Anzahl der Nullen einer Zahl an.
Bei positiven Hochzahlen verschiebt man das Komma um so viele Stellen, wie die Hochzahl angibt. Wenn das nicht reicht, wird mit Nullen aufgefüllt.
Bei einer Zehnerpotenz gibt eine negative Hochzahl bzw. Exponent die Anzahl der Stellen hinter dem Komma an. Das Komma wird um die Stellen der Hochzahl nach links verschoben.