Wurzel berechnen: Wurzelgesetze und Rechenregeln

mathepanda

22 Januar 2024

#Wurzeln

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Erklärung

Grundbegriffe und Definition von Wurzeln

Von einer Zahl die Wurzel ziehen ist die Umkehroperation zum Potenzieren.
Die Wurzel ist gegeben als $ \sqrt[n]{a} $, wobei $n$ = Exponent und $a$ ist die Basis.

Einige grundlegende Umformungen

$ \sqrt[2]{a} = \sqrt{a} $

$ (\sqrt{a})^2 = a $

$ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $

$ a^{\frac{m}{n}} = a^{m \frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^m} $

$ a^{\frac{m}{n}}= \frac{1}{a^{m^{\frac{1}{n}}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}} $

Beispiele

$ \sqrt[2]{4} = \sqrt[2]{2^2} = 2^{2 \frac{1}{2}} = 2^1 = 2 $

$ \sqrt{64} = \sqrt{8 \cdot 8} = \sqrt{8^2} = 8 $

$ 2^2 = 4 \to \sqrt[2]{4} = 2 $

$ 2^3 = 8 \to \sqrt[3]{8} = 2 $

Wurzelgesetze: Wurzelrechnen mit Regeln

Multiplikation von Wurzeln: Zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden multipliziert, indem man die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden zieht, dabei bleibt der der Wurzelexponent unverändert:

$ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} $

$ \sqrt{4} \cdot \sqrt{4} = \sqrt{4 \cdot 4} = \sqrt{16} = 4 $

$ \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \cdot 8} = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2 $

$ \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[5]{125} = \sqrt[5]{25 \cdot 125} = \sqrt[5]{3125} = \sqrt[5]{5^5} = 5 $

Division von Wurzeln: Zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden dividiert, indem man die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden bildet, dabei bleibt der Wurzelexponent gleich:

$ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $

$ \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{32}} = \sqrt{\frac{8}{32}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} $

$ \frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{16}{2}} = \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 3 $

Potenzieren von Wurzeln: Eine Wurzel wird mit dem Exponenten n potenziert, indem der Radikand mit dem Exponenten potenziert wird:

$ (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n](a^m) $

$ (\sqrt[3]{4})^6 = \sqrt[3]{4^6} = 4^{\frac{3}{6}} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2 $

Radizieren von Wurzeln: Eine Wurzel wird radiziert, indem die Wurzelexponenten multipliziert werden, und die Basis gleich bleibt:

$ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} = a^{\frac{1}{mn}} $

$ \sqrt[3]{\sqrt[2]{729}} = \sqrt[3 \cdot 2]{729} = \sqrt[6]{729} = \sqrt[6]{3^6} = 3 $

Kürzen und erweitern von Wurzeln: Wenn ein Faktor p sowohl im Wurzelexponenten als auch im Exponenten des Radikanden vorhanden ist, so kann man mit diesem Faktor p kürzen.

$ \sqrt[ac]{x^{bc}} = \sqrt[a \cancel{c}]{x^{b \cancel{c}}} = \sqrt[a]{x^b} $

$ \sqrt[6]{7^{15}} = \sqrt[2 \cdot \cancel{3}]{7^{\cancel{3} \cdot 5}} = \sqrt[2]{7^5} $

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