Dreiecksberechnung: Dreieck Fläche, Umfang berechnen

02 Dezember 2020
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Erklärung

Allgemeines Dreieck

Für alle Dreiecke gilt:

  • Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°.
  • Der Umfang u eines Dreiecks berechnet sich aus der Summe der Seiten: $u = a + b + c$
  • Die Höhe h zu einer Seite, steht immer senkrecht dazu - d.h. die Höhe und die Seite bilden einen rechten Winkel.
  • Flächenberechnung im Dreieck: Multipliziere die Grundseite mit der dazugehörigen Höhe und dividiere das Produkt durch 2.
  • Mit dem Sinussatz kannst du die Seiten und Winkel im allgemeinen Dreieck berechnen.
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Allgemeines Dreieck Formel Umfang
Erklärung

Rechtwinkliges Dreieck

  • Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel.
  • Als Hypotenuse bezeichnet man die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.
  • Als Kathete wird jede der beiden kürzeren Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet. Die Katheten sind also die beiden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, die den rechten Winkel umschliessen.
  • In Bezug auf einen der beiden spitzen Winkel α
  • des Dreiecks unterscheidet man die Ankathete dieses Winkels (die dem Winkel anliegende Kathete) und die Gegenkathete (die dem Winkel gegenüberliegende Kathete).
  • Beim Winkel α ist die Ankathete die Seite b and die Gegenkathete die Seite a. Die Hypothenuse ist die Seite c
  • Auf das rechtwinklige Dreieck können wir den Satz des Pythagoras anwenden.
  • Der Punkt C liegt auf dem Thaleskreis.

 

In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Seiten $a=5cm$ und $b=8cm$ gegeben. Der rechte Winkel befindet sich am Punkt $C$.

  • Wie lang ist die Strecke $c$?
  • Wie groß ist der Winkel $\alpha$?

In einem rechtwinkligen Dreieck sidn die Seiten $a=5cm$ und $b=8cm$ gegeben. Der rechte Winkel befindet sich am Punkt $C$.

$ c^2 = a^2 + b^2 $

$ c^2 = 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89 $ | $ \sqrt{} $

$ c \approx 9,4cm $

$ sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse } c} = \frac{a}{c} = \frac{5}{9,4} $

$ sin(\alpha) = 0,53 \to \alpha = 32^{\circ} $

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Rechtwinkliges Dreieck Formel
Erklärung

Gleichschenkliges Dreieck

  • Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit 2 gleichlangen Seiten.
  • Die beiden Winkel, die den gleichlangen Winkeln gegenüberliegen, sind auch gleich groß und werden als Basiswinkel bezeichnet. Die gleich langen Seiten heißen Schenkel.
  • Die dritte Seite heißt Basis. Der Punkt gegenüber der Basis wird als Spitze bezeichnet.
  • Jedes gleichschenklige Dreieck ist achsensymmetrisch
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Gleichschenkliges Dreieck
Erklärung

Gleichseitiges Dreieck

  • Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck mit 3 gleichlangen Seiten und 3 gleichgroßen Winkeln: α=β=γ=60∘
  • Die Höhe, Seitenhalbierende und Mittelsenkrechte einer Seite und Winkelhalbierende des gegenüberliegenden Winkels sind jeweils gleich.
  • Der Inkreis und Umkreis haben den selben Mittelpunkt.
  • Alle gleichseitigen Dreiecke sind einander ähnlich.
  • Gleichseitige Dreiecke sind rotationssymmetrisch (Drehung um den Mittelpunkt um 360°/3 = 120° oder Vielfache davon).
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Gleichseitiges Dreieck
Erklärung

Einteilung von Dreiecken nach Seiten

Bei einem unregelmäßigen Dreieck sind alle Seiten unterschiedlich lang und alle Winkel verschieden groß.

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Unregelmäßiges Dreieck
Erklärung

Bei einem gleichschenkligen Dreieck, das nicht gleichseitig ist, sind 2 Seiten gleich lang und eine 3. Seite bildet die Basis. Die 2 Basiswinkel sind gleich groß.

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gleichseitiges Dreieck
Erklärung

Bei einem gleichseitgen Dreieck sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß mit 60°.

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gleichseitgen Dreieck
Erklärung

Einteilung von Dreiecken nach Winkeln

Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind gibt es einen rechten Winkel (90°) und die beiden anderen Winkel sind spitz.

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Rechtwinkliges Dreieck
Erklärung

Bei einem spitzwinkligen Dreieck ist jeder Winkel kleiner als 90°.

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Stumpfwinkliges Dreieck
Erklärung

Bei einem stumpfwinkligen Dreieck ist ein Winkel größer als 90° und die beiden anderen Winkel sind spitz

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spitzwinkliges Dreieck
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