Ellipse berechnen mit Beispiel: Definition, Fläche, Umfang

25 Oktober 2020
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Ellipse Formel
Erklärung

Was ist eine Ellipse? Ellipse Definition und Eigenschaften

  • Ellipse Definition: Man kann die Ellipse als Punktmenge definieren. Die Ellipse ist die Menge aller Punkte $P$, deren Abstände zu den beiden Brennpunkten $F_1$ und $F_2$ zusammen genau $2a$ ergeben.
  • Anschauliche Erklärung: Wir können irgendeinen Punkt auf der Ellipse auswählen und verbinden den Punkt mit den beiden Brennpunkten. Dann ist die Länge der beiden Strecken den Brennpunkten und dem gewählten Punkt genau $2a$.
  • Brennpunkte: Die Brennpunkte $F_1$ und $F_2$ liegen auf der Hauptachse ($x$). $F_1$ hat dabei immer die Koordinaten $(−e/0)$ und $F_2$ hat die Koordinaten $(e/0)$.
  • In der Natur treten Ellipsen in Form von Planetenbahnen um die Sonne auf. Auch beim Zeichnen von Schrägbildern werden häufig Ellipsen benötigt, da ein Kreis durch eine Parallelprojektion im Allgemeinen auf eine Ellipse abgebildet wird.

 

Die Erdbahn wird in guter Näherung durch eine Ellipse (Keplerbahn) mit der Sonne in einem der beiden Brennpunkte beschrieben.

Dabei bewegt sich die Erde fast in einer Kreisform um die Sonne.
Die große Halbachse $x$ der Erdbahn beträgt $150$ Millionen km und für $y$ nehmen wir den Wert $149$ Millionen km.

  • Wie groß ist die Umlaufbahn $U$ der Erde um die Sonne?
  • Wie groß ist der Unterschied zu einer Kreisbahn mit Radius $r = 150 Mio. km$

Für den Umfang einer Ellipse gilt Näherungsweise die Formel:

$ U \approx \pi \cdot (x \cdot y) \cdot (1 + \frac{3\lambda^2}{10 + \sqrt{4-3\lambda^2}})$ mit $\lambda = \frac{x-y}{x+y}$

Eingesetz erhalten wir:

$\lambda = \frac{x-y}{x+y} = \frac{150-149}{150+149} = \frac{1}{299} \approx 0,003 $

$ U_{Ellipse} \approx \pi \cdot (150 \cdot 149) \cdot (1 + \frac{3\lambda^2}{10 + \sqrt{4-3\lambda^2}}) = 939 Mio. km$

Für den Umfang eines Kreises gilt:

$ U_{Kreis} = 2 \cdot \pi \cdot r $ mit $r = 150 Mio. km$ erhalten wir $ U_{Kreis} = 942 Mio. km $

Der Unterschied beträgt ca. $3 Mio. km$ zwischen beiden Umfägen. Oder, wenn man die Erdumlaufbahn als Kreis annimmt, dann ist die Ellipsenbahn um ca. $3 Mio. km$ länger als die Kreisbahn. 

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