Höhensatz einfach erklärt: Formel, Beweis, Aufgabe

Höhensatz Formel: Der Höhensatz des Euklid

• Der Höhensatz des Euklid, benannt nach Euklid von Alexandria, beschreibt Größenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck.
• Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks heißt Hypotenuse. Die beiden kürzeren Seiten nennt man Katheten.
• Die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Hypotenuse $c$ in zwei Abschnitte $q$ und $p$.
• Der Höhensatz besagt, dass das Quadrat der Höhe genauso groß ist wie ein Rechteck mit den Seitenlängen $q$ und $p$.
• Höhensatz Formel: $h^2 =p \cdot q$ oder $h = \sqrt{p \cdot q}$

Höhensatz Beweis mit Satz des Pythagoras

• Beim Höhensatz hat man die drei rechtwinkligen Dreiecke $ \triangle ABC$, $\triangle ADC$ und $\triangle DBC$, in denen jeweils der Satz des Pythagoras gilt.
• Damit erhält man: $ h^{2}=a^{2}-p^{2}$  und $h^{2}=b^{2}-q^{2}$ und somit auch:
• $2h^{2}=a^{2}+b^{2}-p^{2}-q^{2}$ $=c^{2}-p^{2}-q^{2}= $ $(p+q)^{2}-p^{2}-q^{2}=2pq$
• Division durch zwei liefert dann den Höhensatz: $h^2 =p \cdot q$

Höhensatz Aufgabe mit Lösung