Kathetensatz einfach erklärt: Formel und Aufgaben
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Erklärung
Kathetensatz Formel
- Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks heißt Hypotenuse. Die beiden kürzeren Seiten nennt man Katheten.
- Der Kathetensatz besagt, dass jeweils das Quadrat einer Kathete $a^2$ und $b^2$ gleich dem Produkt der anliegenden Achsenabschnitts der Hypotenuse und der Hypotenuse selbst ist.
- Kathetensatz Formel: $a^2 = p \cdot c$ und $b^2 = q \cdot c$
Kathetensatz Beweis
Beweis des Kathetensatzes mit Hilfe des Höhensatzes. Bezogen auf die Grafik beim Beweis des Höhensatzes:
$ a^{2}=p^{2}+h^{2}$
$ a^{2}=p^{2}+pq$
$ a^{2}=p(p+q)$
$ a^{2}=pc$
$ b^{2}=q^{2}+h^{2}$
$ b^{2}=q^{2}+pq$
$ b^{2}=q(q+p)$
$ b^{2}=qc$
Cristiano zeichnet eine rechtwinkliges Dreieck mit $p=2cm$ und $c=6cm$.
Wie groß sind die Katheten $a$ und $b$?
Du kannst die Seite $p$ an der Kathe $a$ berechnen mit der Formel $a^2 = p \cdot c$.
$a^2 = p \cdot c$
$a^2 = 2cm \cdot 6cm = 12 cm^2$
$a = \sqrt{12 cm^2} = 3,46cm$
$q = c-p$
$q = 6cm - 2cm = 4cm$
$b^2 = q \cdot c $
$b = \sqrt{4cm \cdot 6cm} = 4,9cm$
Lösung: $a = 3,46cm$ und $b = 4,9 cm$
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