Direkter Beweis Erklärung

Die Summe zweier ungerader Zahlen ist eine gerade Zahl.

Beweis: Seien a und b ungerade Zahlen, also $a = 2k + 1$ und $b = 2k' + 1$.

Dann ist $$ \begin{aligned} a + b &= 2k + 1 + 2k' + 1 \\ &= 2k + 2 k' +2 \\ &= 2 (k + k' + 1) \end{aligned} $$

also $a + b = 2n$ und damit eine gerade Zahl (für jeweils $k, k', n \in \mathbb{N}$).

$a,b$ sind reel, $a \geq 0$, $b \geq 0$. Zu zeigen: $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$

$$ \begin{aligned} (a - b)^2 &\geq 0 \\ \textrm{(Binomische Formel)} \qquad a^2 - 2ab + b^2 &\geq 0 \\ \textrm{(Addition von 4ab)} \qquad a^2 + 2ab + b^2 &\geq 4ab \\ \textrm{(Binomische Formel)} \qquad (a + b)^2 &\geq 4ab \\ \textrm{(Wurzelziehen)} \qquad a + b &\geq 2 \sqrt{ab} (a, b \geq 0) \\ \textrm{(Division durch 2)} \qquad \frac{a+b}{2} &\geq \sqrt{ab} \end{aligned} $$