Logische Operationen

Logische Operationen

• Logische Aussagen können durch die in der folgenden Tabelle angegebenen Operationen verknüpft werden.
• Bei der Implikation ist zu beachten, dass B nur dann wahr sein muss, wenn A wahr ist. Aus falschen Voraussetzungen können sowohl richtige, als auch falsche Schlüsse gezogen werden. Das Zeichen für die Oder-Verknüpfung ist ein stilisiertes v, das für vel (lat. oder) steht.
• Für die Oder-Verknüpfung wird auch das "+"-Symbol verwendet und für die Und-Verknüpfung das "·"-Symbol. Verwendet man dann die 0 für den Wert "falsch" und interpretiert jeden anderen Wert als "wahr", künnen die logischen Verknüpfungen durch Rechnen mit natürlichen Zahlen durchgeführt werden.
• Vor allem in Computersprachen werden die aus dem Englischen stammenden Begriffe NOT (Negation), AND (Konjunktion), OR (Disjunktion), EXOR oder XOR (exclusive or, Antivalenz) und deren Negationen NAND (negierte Konjunktion), NOR (negierte Disjunktion) und NXOR (Äquivalenz) verwendet.
• In der folgenden Tabelle sind die Wahrheitswerte der vorgestellten Verknüpfungen angegeben. Dabei steht w für wahr und f für falsch.

Beispiele für logische Operationen

• $p$: Die Rose ist rot.
  $\neg p$: Die Rose ist nicht rot.
• $p$: 18 ist durch 2 teilbar. $q$: 18 ist durch 3 teilbar.
  $p \wedge q$: 18 ist durch 2 und durch 3 teilbar.
• $p$: Das Kind ißt Bonbons. $q$: Das Kind ißt Schokolade.
  $p \vee q$: Das Kind ißt Schokolade oder Bonbons (oder beides).
• $p$: x ist durch 10 teilbar. $q$: x ist durch 5 teilbar.
  $p \rightarrow q$: Wenn x durch 10 teilbar ist, so ist x auch durch 5 teilbar.
• $p$: Eine Zahl ist durch 6 teilbar. $q$: Eine Zahl ist durch 2 teilbar.
  $p \leftrightarrow q$: Eine Zahl ist dann und nur dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 teilbar ist.
• $p$: Peter ist in Köln geboren. $q$: Peter ist in Bonn geboren.
  $p \nleftrightarrow q$: Peter ist entweder in Köln oder in Bonn geboren.

p: Paul ist reich., q: Paul ist glücklich.

• Paul ist reich, aber nicht glücklich. $ p \wedge (\neg q)$
• Paul ist nicht reich oder glücklich. $(\neg p) \vee q$
• Weder ist Paul reich noch glücklich. $(\neg p) \wedge (\neg q)$
• Wenn Paul reich ist, ist er glücklich. $p \rightarrow q$
• Entweder ist Paul reich oder glücklich. $p \nleftrightarrow q$