Ableiten einfach erklärt mit Beispielen

18 Oktober 2021

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Erklärung

Ableitung von konstanten Funktionen

Bei einer konstanten Funktion ist die Steigung immer null und daher ist auch ihre Ableitung null. $$ f(x) = c \\ f'(x)=0 $$

$ f(x) = 6 \Rightarrow f'(x) = 0 $

Ableitung der Exponentialfunktion

Die Ableitung der Exponentialfunktion $e^x$ ist die Funktion selbst: $$ f(x) = e^x \Rightarrow f'(x) = e^x $$
Die Exponentialfunktion ist die einzige Funktion die diese Eigenschaft besitzt.
Die Ableitung der e-Funktion ist einfach, aber man benötigt fast immer die Kettenregel und Produktregel.

$f(x)=e^x + x + 4 \Rightarrow f'(x) = e^x +1 $

Ableitung der Logarithmusfunktion

Für die Ableitung der Logarithmusfunktion gilt: $$ f(x) = ln(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x} $$

$ f(x) = ln(5x - 2) \Rightarrow f'(x) = 5 \cdot \frac{1}{5x-2} $

Es gilt hier die Kettenregel: $ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $

Ableitung von Potenzfunktionen

Für die Ableitung der Potenzfunktion gilt: $$ f(x)=\left(x^n\right)\Rightarrow f'(x)=nx^{n-1} $$

$$ f(x) = \left(x^7\right)\Rightarrow f'(x)= 7x^{7-1}=7x^6 \\ f(x) =\left(\sqrt{x} \right) = x^{\frac{1}{2} } \Rightarrow f'(x)= \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2} } = \frac{1}{2x^{\frac{1}{2} }} = \frac{1}{2\sqrt{x} } \\ f(x) = \left(\frac{1}{x} \right) = x^{-1} \Rightarrow f'(x)=(-1) \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \\ f(x) = \left(\frac{1}{x^5} \right) = x^{-5} \Rightarrow f'(x)= (-5) \cdot x^{-5-1} = -5x{-6} = -\frac{5}{x^6} $$

Ableitung einer mit einer Zahl c multiplizierten Funktion

Für die Ableitung einer mit einer Zahl $c$ multiplizierten Funktion gilt: $$ f(x)=\left[c \cdot g(x) \right] \Rightarrow f'(x)= c \cdot g'(x) $$

$$ f(x) = \left[-3x^2 \right] \Rightarrow f'(x)= -3 \cdot \left[-3x^2 \right]' = (-3) \cdot 2x^1 = -6x \\ f(x) = \left[-\frac{4}{x^3} \right] \Rightarrow f'(x)= -4 \cdot \left[x^{-3} \right]' = (-4) \cdot (-3) \cdot x^{-4} = 12x^{-4} = \frac{12}{x^4} $$

Ableitung der Summe/Differenz von zwei (oder mehr) Funktionen

Für die Ableitung von zwei oder mehreren Funktionen gilt allgemein: $$ \left[f(x)\pm g(x)\right]'= f'(x) \pm g'(x) $$

$$ \left[6 - \frac{1}{2}x^2 \right]' = \left[6\right]' - \left[\frac{1}{2} x ^2 \right] = 0 -\frac{1}{3} \cdot 2x = -x \\ \left[tx^4-2x^2+\frac{1}{2}-2 \right]' = \left[tx^4\right] - \left[2x^2\right]' + \left[\frac{1}{2}x \right]' - \left[2\right] = 4tx^3-4x+\frac{1}{2} $$

Ableitung der Verkettung von zwei Funktionen (Kettenregel)

Für die Ableitung der Verkettung von zwei Funktionen gilt (Kettenregel): $$ [f(g(x))]' = g'(x)f'(g(x)) $$

$$ f(x) = (3x^2+2x)^2 \\ f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \\ = 2v(x) \cdot (6x+2) \\ = 2(3x2+2x) \cdot (6x+2) \\ = 36x^3+24x2+12x2+8x \\ = 36x^3+36x2+8x \\ $$

Ableitung des Produkts aus zwei Funktionen (Produktregel)

Für die Ableitung des Produktes von zwei Funktionen gilt allgemein (Produktregel): $$ [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + g'(x)f(x) $$

$$ \left[(-2x^2+3)e^{-2x+1}\right] = \left[-2x^2+3\right]'e^{-2x+1} + \left[e^{-2x+1}\right]'(-2x^2+3) \\ =-4xe^{-2x+1}+ (-2)e^{-2x+1}(-2x^2+3) \\ =-4xe^{-2x+1}+(4x^2-6)e^{-2x+1} \\ =(4x^2-4x-6)e^{-2x+1} $$

$$ \left[-7x \cdot ln(8x)\right]' = \left[-7x\right]'ln(8x) + \left[ln(8x)\right]'(-7x) \\ = -7ln(8x) + 8\cdot \frac{1}{8x}(-7x) \\ = -7ln(8x)-7 $$

Ableitung des Quotienten aus zwei Funktionen (Quotientenregel)

Für die Ableitung des Quotienten aus zwei Funktionen gilt allgemein (Quotientenregel):

$$ \left[\frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g(x)^2} $$

$$ \left[-\frac{3}{x^2} \right] = -\frac{\left[3\right]'x^2 - 3\left[x^2\right] }{(x^2)^2} \\ = -\frac{0-6x}{x^4} \\ = \frac{6}{x^3} $$

$$ \left[\frac{e^{\frac{2}{3}x} }{x^2-4} \right] = \frac{\left[e^{\frac{2}{3}x}\right]'(x^2-4)- \left[x^2-4\right]'e^{\frac{2}{3}x} }{(x^2-4)^2} \\ = \frac{\frac{2}{3}e^{\frac{2}{3}x}(x^2-4)-2xe^{\frac{2}{3}x} }{(x^2-4)^2} \\ = \frac{(\frac{2}{3}x^2-2x-\frac{8}{3} )e^{\frac{2}{3}x}}{(x^2-4)^2} $$

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