Quotientenregel Definition und Beispiel

Super Mario

28 August 2020

#Ableiten, #Analysis, #Abitur

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Erklärung

Definition Quotientenregel

Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück.
Es gilt folgende Formel für die Ableitung von zwei Funktionen, die mit einer Multiplikation verknüpft sind: $$ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2} $$
Zähler $g(x)$ ableiten mal Nenner $h(x)$ unabgeleitet minus Zähler $g(x)$ unabgeleitet mal Nenner $h(x)$ abgeleitet Nenner $h(x)$ im Quadrat

Beispiel

Berechne die Ableitung von $ f(x) = \frac{x^2 + 5}{3x - 1}$ $$ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2} \\ g(x) = (x^2 + 5) \textrm{ , } g'(x) = 2x\\ h(x) = 3x - 1 \textrm{ , } h'(x) = 3 \\ f'(x) = \frac{2x \cdot (3x - 1) - (x^2 + 5) \cdot 3}{(3x -1)^2} \\ f'(x) = \frac{3x^2 - 2x - 15}{9x^2 - 6x + 1} $$

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