Quotientenregel Definition und Beispiel
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Erklärung
Definition Quotientenregel
- Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück.
- Es gilt folgende Formel für die Ableitung von zwei Funktionen, die mit einer Multiplikation verknüpft sind: $$ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2} $$
- Zähler $g(x)$ ableiten mal Nenner $h(x)$ unabgeleitet minus Zähler $g(x)$ unabgeleitet mal Nenner $h(x)$ abgeleitet Nenner $h(x)$ im Quadrat
Berechne die Ableitung von $ f(x) = \frac{x^2 + 5}{3x - 1}$ $$ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2} \\ g(x) = (x^2 + 5) \textrm{ , } g'(x) = 2x\\ h(x) = 3x - 1 \textrm{ , } h'(x) = 3 \\ f'(x) = \frac{2x \cdot (3x - 1) - (x^2 + 5) \cdot 3}{(3x -1)^2} \\ f'(x) = \frac{3x^2 - 2x - 15}{9x^2 - 6x + 1} $$
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