Produktregel Definition und Beispiele

Super Mario

27 Mai 2022

#Ableiten, #Analysis, #Abitur

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Erklärung

Definition Produktregel

Die Produktregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Produktes von Funktionen auf die Berechnung der Ableitungen der einzelnen Funktionen zurück.
Es gilt folgende Formel für die Ableitung von zwei Funktionen, die mit einer Multiplikation verknüpft sind: $$ f(x) = g(x) \cdot h(x) \textrm{ ist } f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) $$
1. Faktor $g(x)$ ableiten mal 2. Faktor $h(x)$ unabgeleitet
plus
1. Faktor $g(x)$ unabgeleitet mal 2. Faktor $h(x)$ abgeleitet

Berechne die Ableitung von $ f(x) = (x^2 + 2) \cdot sin x $ $$ f(x) = g(x) \cdot h(x) \textrm{ ist } f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ f(x) = (x^2 + 2) \textrm{ , } f'(x) = 2x \\ g(x) = sin(x) \textrm{ , } g'(x) = cos(x) \\ f'(x) = 2x \cdot sin x + (x^2 + 2) \cdot cos x $$

Beispiel 2

Berechne die Ableitung von $ f(x) = (x^2 + 5) \cdot e^x$ $$ f(x) = g(x) \cdot h(x) \textrm{ ist } f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ g(x) = (x^2 + 5) \textrm{ , } f'(x) = 2x \\ h(x) = e^x \textrm{ , } g'(x) = e^x \\ f'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 + 2) \cdot e^x = (x^2 + 2x + 2) \cdot e^x $$

Beispiel 3

Berechne die Ableitung von $ f(x) = (2x + 2) \cdot \sqrt{x} x$ $$ f(x) = g(x) \cdot h(x) \textrm{ ist } f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ g(x) = (2x + 2) \textrm{ , } f'(x) = 2 \\ h(x) = \sqrt{x} \textrm{ , } g'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ f'(x) = 2x \cdot \sqrt{x} + (x^2 + 2) (-\frac{1}{2\sqrt{x}}) = \frac{3}{2}x \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} $$

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