Kettenregel Definition und Beispiel

Super Mario

15 Oktober 2022

#Ableiten, #Analysis

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Erklärung

Definition Kettenregel

Die Kettenregel ist eine Regel der Differentialrechnung. Sie trifft Aussagen über die Ableitung einer Funktion, die sich selbst als Verkettung von zwei differenzierbaren Funktionen darstellen lässt.
Kernaussage der Kettenregel ist, dass eine solche Funktion selbst wieder differenzierbar ist und man ihre Ableitung erhält, indem man die beiden miteinander verketteten Funktionen separat ableitet und - ausgewertet an den richtigen Stellen - miteinander multipliziert.
Für die Kettenregel gilt: $$ f(x) = g(z(x)) \textrm{ ist } f'(x) = z'(x) \cdot g'(z(x)) $$
leite die äußere Funktion $f()$ ab
schreibe innere Funktion $z(x)$ unabgeleitet ab
multipliziere mit der Ableitung der inneren Funktion $z'(x)$

Beispiel: Kettenregel

Beispiel 1

Berechne die Ableitung von $f(x) = (x^2+ 2)^5$ $$ f(x) = g(z(x)) \Rightarrow f'(x) = z'(x) \cdot g(z(x)) \\ f(x) = (x^2 + 2) \Rightarrow f'(x) = 2x \cdot 5(x^2 + 2)4 \\ = 10x \cdot (x^2+ 2)4 $$

Beispiel 2

Berechne die Ableitung von $f(x) = \sqrt{x^2 + 5}$ $$ f(x) = g(z(x)) \Rightarrow f'(x) = z'(x) \cdot g'(z(x)) \\ f(x) = (x^2 + 5)^{0,5} \Rightarrow f'(x) = 2x \cdot 0,5 \cdot (x^2 + 5)^{0,5} \\ = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}} $$

Beispiel 3

Berechne die Ableitung von $f(x) = sin(x^2 + 5)$ $$ f(x) = g(z(x)) \Rightarrow f'(x) = z'(x) \cdot g'(z(x)) \\ f(x) = sin(x^2+ 5) \Rightarrow f'(x) = 2x \cdot cos(x^2 + 5) $$

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