Tangente durch einen Punkt

28 August 2020

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Erklärung

Tangente durch einen Kurvenpunkt

Eine Tangente an eine Kurve $f$ im Kurvenpunkt $P(x_0|f(x_0))$ ist eine Gerade, die $f$ in diesem Punkt berührt. Um an einer vorgegebene Stelle $x_0$ eine Tangente an die Funktion $f$ anzulegen, berechnest Du den Funktionswert $f(x_0)$ und die Ableitung $f'(x_0)$ an dieser Stelle und setzt alles ein in die Tangentengleichung: $$ t: y=f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) $$

Das ergibt dann nach kurzer Umformung die Geradengleichung der Tangente durch den Kurvenpunkt $(x_0|f(x_0))$.

Wendetangenten sind einfach Tangenten durch einen Kurvenpunkt, der gleichzeitig auch noch ein Wendepunkt der Funktion $f$ ist.

Beispiel: Tangente durch einen Kurvenpunkt

Wir bestimmen die Gleichung der Tangente an die Funktion $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ an der Stelle $x_0 + 1$.

Der Funktionswert ist dann $f(1) = \frac{1}{2}$ und mit $f'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$ haben wir noch die Steigung $f'(1) = -\frac{1}{2}$.

Also hat die Tangente $t$ im Kurvenpunkt $(1|\frac{1}{2})$ die Gleichung: $$ y = \frac{1}{2}(x - 1) + \frac{1}{2} \textrm{ ,bzw. } y = - \frac{1}{2}x + 1 $$

Tangente durch einen Punkt außerhalb der Kurve

Wir bezeichnen jetzt mit $(x_1|y_1)$ einen Punkt, der nicht auf der Funktion $f$ liegen soll. Dabei suchen wir Geraden, die durch diesen Punkt gehen, und außerdem die Funktion $f$ tangieren (berühren).
Um den Berührpunkt $(x_0|f(x_0))$ zu finden, wird $x_1$ und $y_1$ in die Tangentengleichung (s.o.) für x bzw. y eingesetzt: $$ y_1 = f'(x_0)(x_1 - x_0) + f(x_0) $$
Diese Gleichung wird jetzt nach $x_0$ aufgelöst. Wenn $x_0$ dann bekannt ist, wird wie oben die Tangente an $f$ im Kurvenpunkt $(x_0|f(x_0))$ berechnet, diese enthält dann automatisch auch den Punkt $(x_1|y_1)$.

Beispiel: Tangente durch einen Punkt außerhalb

An die Funktion $f(x) = x^2 + 1$ sollen alle Tangenten durch den Punkt $(\frac{1}{2}|-1)$ (der nicht auf $f$ liegt) gefunden werden.

Wir setzen also für $x$ und $y$ in der Tangentengleichung die Werte $\frac{1}{2}$ und $-1$ ein: $$ -1 = 2x_0(\frac{1}{2} - x_0)+x^{2}_{0} + 1 \Leftrightarrow x^{2}_{0} - x_0 - 2 = 0 $$

Die quadratische Gleichung hat die zwei Lösungen $x_0 = 2$ bzw. $x_0 = -1$. Das bedeutet, durch den Punkt $(\frac{1}{2}|-1)$ können zwei Tangenten an die Funktion $f$ angelegt werden.

Die Gleichungen ergeben sich durch Einsetzen von $2$ und $-1$ für $x_0$ in die Tangentengleichung: $$ t_1 : y = f'(2)(x-2)+f(2)=4(x-2)+5=4x-3 \textrm{ und}\, \\ t_2 : y = f'(-1)(x+1)+f(-1)= -2(x+1)+2= -2x $$

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