Berührpunkte von Funktionen

12 November 2020
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Erklärung

Zwei Funktionen $f$ und $g$ haben einen Berührpunkt an der Stelle $x_0$, wenn sie dort denselben Funktionswert und dieselbe Ableitung haben, wenn also $f(x_0) = g(x_0)$ und $f'(x_0) = g'(x_0)$ gilt.

Diese beiden Bedingungen müssen also nachgeprüft werden, wenn Du zeigen sollst, dass ein vorgegebener Punkt ein Berührpunkt ist.

Wenn Du selber die Berührpunkte von zwei Funktionen bestimmen sollst, löst Du zuerst von den Gleichungen $f(x) = g(x)$ und $f'(x) = g'(x)$ die einfachere nach $x$ auf, und schaust, ob mit der Lösung oder den Lösungen auch noch die andere Gleichung erfüllt ist.

Für Berührpunkte kommen also nur solche Lösungen in Frage, die beide Gleichungen erfüllen. Am Schluss rechnest Du zu allen erhaltenen $x$-Werten die Funktionswerte aus und schreibst die Koordinatenpaare als Berührpunkte auf.

 

Beispiel: Berührpunkte berechnen

Beispiel 1

Es soll gezeigt werden, dass sich die Funktionen $f(x) = 3 - 4x^2$ und $g(x) = \frac{1}{x}$ in $B(\frac{1}{2}|2)$ berühren. Die Ableitungen sind $f'(x) = -8x$ und $g'(x) = -\frac{1}{x^2}$, es gilt also $f'(\frac{1}{2}) = -8 \cdot \frac{1}{2} = -4 $ und $g'(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = -4$.

Die Ableitungen sind damit gleich und genauso die Funktionswerte, denn wir haben $f(\frac{1}{2})=3 - \frac{4}{2^2}$ und $g(\frac{1}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.

 

Beispiel 2

Wir berechnen den Berührpunkt von $f(x) = 2e^{x-3}$ und $g(x) = 2x - 4$.

Da sich die Gleichung $f(x) = g(x)$ nicht gut auflösen lässt, versuchen wir es mit der anderen Bedingung $f'(x) = g'(x)$, bzw. $2e^{x-3} = 2$, die nach Division durch $2$ und Logarithmieren zur Lösung $x = 3$ führt.

Damit ist auch die andere Bedingung erfüllt, es gilt nämlich $f(3) = 2e^0 = 2$ und $g(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2$. $B(3|2)$ ist also ein Berührpunkt der Funktionen $f$ und $g$.

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