Definition und Darstellung von Folgen

28 August 2020

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Erklärung

Definition: Eine Zuordnung, die jeder natürlichen Zahl $n \in \mathbb{N}$ eine reelle Zahl an zuordnet, heißt reelle Zahlenfolge.

Bezeichnung: $(a_n) = (a_1, a_2, ... , a_n)$

$a_n$ heißt $n$-tes Folgenglied.

$n$ heißt Index

Folgen lassen sich auf verschiedene Weise beschreiben:

verbale Beschreibung: Jeder natürlichen Zahl wird ihre Quadratzahl zugeordnet.
Zuordnungsvorschrift: $ n \longmapsto a_n = n^2, n \in \mathbb{N} $, oder kurz $ (a_n) = (n^2)$
aufzählende Darstellung: $$ (a_n) = (1, 4, 9, 16, 25,...) $$

In obigem Beispiel wurde das n-te Folgenglied durch einen Term beschrieben, in dem der Index n auftritt.

Vereinfacht ausgedrückt sind wir hier wie bei reellen Funktionen vorgegangen: Die abhängige Variable an (bei reellen Funktionen $y$) wurde mit Hilfe der unabhängigen Variable n (bei reellen Funktionen $x$) dargestellt.
Folgen können auch durch Rekursion (Bezugnahme auf vorangehende Folgenglieder) definiert werden wie im Beispiel mit der Fibonacci-Folge.

Beispiel Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge wird rekursiv durch die folgenden Festlegungen definiert: $$ a_1 = 1, a_2 = 2, a_{n+2} = a_{n+1} + a_n $$

Daraus lassen sich sämtliche Folgeglieder berechnen: $$ a_1 = 1 \\ a_2 = 2 \\ a_3 =a_2 +a_1 =2+1=3 \\ a_4 =a_3 +a_2 =3+2=5 \\ a_5 =a_4 +a_3 =5+3=8 \\ $$

In aufzählender Darstellung ergibt sich also $(a_n) = (1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .)$.

Weitere Beispiele für Folgen

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