Eigenschaften von Folgen: Monotonie

Super Mario

28 August 2020

#Analysis, #Folgen

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Erklärung

Definition: Eine Folge $(a_n)$ heißt:

monoton wachsend, wenn für alle $n \in \mathbb{N}$ die Beziehung $a_n \leq a_n + 1 $ gilt;
streng monoton wachsend, wenn für alle $n \in \mathbb{N}$ die Beziehung $a_n \lt a_n + 1$ gilt;
monoton fallend, wenn für alle $n \in \mathbb{N}$ die Beziehung $a_n \geq a_{n+1}$ gilt;
streng monoton fallend, wenn für alle $n \in \mathbb{N}$ die Beziehung $a_n \gt a_{n+1}$ gilt.

Bei Folgen muss keine Monotonie vorliegen. So ist beispielsweise die Folge $(a_n) = ((-1)^n)$ weder monoton steigend, noch monoton fallend.

Beispiel 1

Die Folge $n \longmapsto n + 1, (a_n) = (n + 1) = (2,3,4,5,...)$ ist streng monoton wachsend.

Beispiel 2

Die Folge $ n \longmapsto \frac{1}{n}, (a_n) = (\frac{1}{n}) = (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5},...) $

Die Folge $(a_n)$ ist streng monoton fallend:

Beweis der Behauptung: $$ \begin{aligned} n &\lt n + 1 \qquad | : n(\gt 0) \\ 1 &\lt \frac{n+1}{n} \qquad | : (n+1)(\gt 0) \\ \frac{1}{n+1} &\lt \frac{1}{n} \end{aligned} $$ also $a_{n+1} \lt a_n$ für alle $n \in \mathbb{N}$.

Graphische Darstellung:

Bild