Eigenschaften von Folgen: Beschränktheit

28 August 2020

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Erklärung

Definition: Eine Folge $(a_n)$ heißt

nach oben beschränkt, wenn es einen bestimmten Wert $S_0$ (obere Schranke) gibt, so dass für alle $n \in \mathbb{N}$ die Ungleichung $a_n \leq S_0$ gilt;

nach unten beschränkt, wenn es einen bestimmten Wert $S_u$ (untere Schranke) gibt, so dass für alle $n \in \mathbb{N}$ die Ungleichung $a_n \geq S_u$ gilt;

beschränkt, wenn sie nach unten und nach oben beschränkt ist.

Beispiel 1

$ n \longmapsto \frac{1}{n}, (a_n) = (\frac{1}{n}) = (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5},...)$

Für alle $ n \in \mathbb{N}$ gilt: $ 0 = \frac{0}{n} \leq \frac{1}{n} = a_n = \frac{1}{n} \leq \frac{n}{n} = 1$.

Die Folge $(\frac{1}{n})$ besitzt daher die obere Schranke $S_0 = 1$ und die untere Schranke $S_u = 0$. Mithin ist $(\frac{1}{n})$ beschränkt.

Beispiel 2

$ n \longmapsto n + 1, (a_n) = (2,3,4,5,...)$

Für alle $ n \in \mathbb{N}$ gilt: $ 1 \leq n + 1$.

Die Folge $(n + 1)$ besitzt daher die untere Schranke $S_u = 1$ und ist insbesondere nach unten beschränkt.

Beispiel 3

Jede monoton wachsende Folge $(a_n)$ ist nach unten beschränkt. Sie besitzt die untere Schranke $a_1$.

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