Wichtige Folgen: Arithmetische Folge, Potenzfolge, Geometrische Folgen

Arithmetische Folge

Eine Folge, bei der alle Folgenglieder die gleiche Differenz zu ihrem Nachfolger haben, heißt Arithmetische Folge.
Eine solche Folge ist beispielsweise $a_n = 2n$, also die Folge der geraden Zahlen. Hier hat jedes Folgenglied die Differenz 2 zu seinem Nachfolger. Ganz allgemein haben arithmetische Folgen die Form: $$ a_n = a_0 + d \cdot n $$

Die Differenz zwischen den einzelnen Folgengliedern kann man dann direkt am Parameter d ablesen. Da $d \cdot 0 = 0$, ist $a_0$ hier direkt das erste Folgenglied.

Potenzfolge

Folgen der Form: $$ a_n = n^k $$

nennt man Potenzfolgen. Es ist klar, dass für $k = 1$ eine arithmetische Folge entsteht.
Potenzfolgen mit $k \lt 0$ können umgeschrieben werden als $a_n = \frac{1}{n^{-k}}$, die (für negative $k$) gegen 0 konvergiert.
Für $k = -1$ ergibt sich die Harmonische Folge.

Geometrische Folgen

Bei arithmetischen Folgen haben die Folgenglieder untereinander immer die gleiche Differenz. Geometrische Folgen sind dadurch charakterisiert, dass zwei aufeinanderfolgende Folgenglieder immer das gleiche Verhältnis zueinander haben.

Anders ausgedrückt, der Quotient $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = q$ ist für alle $n$ immer der gleiche. Formal ist eine geometrische Folge definiert durch: $$ a_n = a_0 \cdot q^n $$

Auch hier bezeichnet $a_0$ direkt das erste Folgenglied, da $q^0 = 1$ ist und man somit $a_0$ erhält. Geometrische Folgen konvergieren für $|q| \lt 1$ gegen 0, für $q = 1$ gegen $a_0$, und für alle anderen Werte von $q$ divergieren sie.