Parameterunabhängige Eigenschaften

Zeige, dass $P(0|-6)$ und $Q(2|4)$ die gemeinsamen Punkte der Funktionenschar $f_t(x) = tx^3 + (1 - 2t)x^2 + 3x - 6$ sind. Dazu wird die Punktprobe gemacht, und es ergibt sich: $$ f_t(0) = t \cdot 0 + (1-2t) \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 6 = -6 \\ f_t(2) = 8t + 4(1-2t) + 6 - 6 = 4 $$

unabhängig von $t$, was zu zeigen war.

Es kann auch gefragt werden, ob die obige Schar gemeinsame Punkte hat, ohne dass sie angegeben werden.

In diesem Fall schneidest Du zwei verschiedene Funktionen aus der Schar miteinander, bei denen Du die Parameter z.B. mit $s$ und $t$ bezeichnest. Wenn Du dann Schnittpunkte berechnest, die nicht von $s$ oder $t$ abhängen, dann sind das die gemeinsamen Punkte der Schar: $$ \begin{align} &sx^3 +(1 - 2s)x^2 + 3x - 6 = tx^3 +(1-2t)x^2 + 3x - 6 \\ &\Leftrightarrow (s - t)x^3 - 2(s-t)x^2=0 \\ &\Leftrightarrow (s-t)(x^3 - 2x^2)=0 \\ &\Leftrightarrow x^3 - 2x^2 = 0 \\ \end{align} $$

Die Division durch $s - t$ ist erlaubt, weil wir verschiedene Scharfunktionen miteinander schneiden, d.h. es gilt $s \neq t \Leftrightarrow s - t \neq 0$. Die letzte Gleichung hat die von $s$ und $t$ unabhängigen Lösungen $x = 0$ und $x = 2$. Mit $f_t(0) = -6$ und $f_t(2) = 4$ ergeben sich dann die gemeinsamen Punkte $P(0| -6)$ und $Q(2|4)$ der Funktionenschar.

Für $t \gt 0$ schneidet $f_t(x) = -tx^3 + 3x $ die $x$-Achse bei $x_1 = \sqrt{\frac{3}{t}} $, $x_2 = 0$ und $x_3 = 3$. Die von $f_t$ und der $x$-Achse zwischen $x_2$ und $x_3$ begrenzte Fläche $A$ wird durch die erste Winkelhalbierende in zwei Flächenstücke $A_1$ und $A_2$ zerlegt. Zu zeigen ist, dass das Flächenverhältnis $\frac{A_1}{A_2}$ nicht von $t$ abhängt.

Wir berechnen zuerst die Gesamtfläche zwischen $f_t$ und der $x$-Achse: $$ A =\left|\int_{0}^{\sqrt{\frac{3}{t} } }{-tx^3+3x-x}dx \right| \\ = \left|\left[-\frac{t}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^2 \right] \right|^{\sqrt{\frac{3}{t}}}_{0} \\ = \left|\frac{9}{4t} \right| = \frac{9}{4t} $$

Um das Flächenstück $A_1$ zu berechnen, das von der Winkelhalbierenden mit der Gleichung $g(x) = x$ und $f_t$ bqegrenzt wird, berechnen wir zuerst ihre Schnittstellen, mit dem Resultat $x = 0$ bzw. $x = {\sqrt{\frac{2}{t} } }$ . Für das Flächenstück ergibt sich dann: $$ A =\left|\int_{0}^{\sqrt{\frac{2}{t} } }{-tx^3+3x-x}dx \right| \\ = \left|\left[-\frac{t}{4}x^4 + x^2 \right] \right|^{\sqrt{\frac{2}{t}}}_{0} \\ = \left|\frac{1}{t} \right| = \frac{1}{t} $$

$A_2$ bestimmen wir mit $A_2 = A - A_1 = \frac{9}{4t} - \frac{1}{t} = \frac{5}{4t}$.Jetzt kann man sehen, dass das Flächenverhältnis $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{t} : \frac{5}{4t} = \frac{4}{5} $ nicht von t abhängt.

Zeige, dass $f_t(x) = (1 + t)x + \frac{t}{x} + 2t$ für jedes $t$ die erste Winkelhalbierende ($g(x) = x$) in demselben Punkt $P$ berührt.

Die beiden Kurven berühren sich, wenn die beiden Bedingungen $f_t(x) = g(x)$ und $f'_t(x) = g'(x)$ erfüllt sind: $$ (1+t)x+ \frac{t}{x} +2t = x \\ 1+t -\frac{t}{x^2} = 1 $$

Die zweite Gleichung ist äquivalent zu $t(x^2 - 1) = 0$ mit den von t unabhängigen Lösungen $x = 1$ und $x = 1$. Aber nur für $x = -1$ ist auch die erste Gleichung unabhängig von $t$ erfüllt. Damit ist $P(-1|f_t(-1))$, also $P(-1|-1)$ der Punkt, in dem $f_t$ für jedes $t$ die erste Winkelhalbierende berührt.

Wir zeigen, dass die Nullstelle der Tangente an $f_t(x) = tx^2$ im Kurvenpunkt $P(4|16t)$ unabhängig von $t$ ist.

Dazu wird zuerst die Tangentengleichung der Tangente durch $P$ an $f_t$ aufgestellt: $$ t: \quad y = f_t(4) + f'_t(4)(x - 4) = 8tx - 16t $$

Setzt man jetzt $y = 0$ ein und löst nach $x$ auf, dann erhält man die von $t$ unabhängige Nullstelle der Tangente $x = 2$.

Es soll gezeigt werden, dass die Steigung von $f_t(x) = \frac{1}{3}x^3 + tx^2 + (t^2 - 2)x - 1$ im Wendepunkt unabhängig von $t$ ist.

Für die beiden ersten Ableitungen gilt: $$ f'_t(x) = x^2 + 2tx + t^2 - 2 \textrm{ und } \\ f''(x) = 2x + 2t $$

Aus $f''(x) = 0$ folgt dann die Wendestelle $x = -t$ ($f'''(x) = 2 \neq 0$). Die Ableitung an dieser Stelle gibt dann den Wert der Steigung im Wendepunkt an und hat den Wert $f'_t(-t) = (-t)^2 - 2t^2 + t^2 - 2 = -2$, der nicht von $t$ abhängt.