Ortskurven bestimmen mit Beispiel
Wenn Du für jede Funktion einer Funktionenschar $f_t$ die Hoch-, Tief- oder Wendepunkte in Abhängigkeit von t ausgerechnet hast, ist es möglich, die Kurve zu bestimmen, auf der alle diese Punkte liegen.
Du hast z.B. den Hochpunkt $H(a(t)|b(t))$, wobei $a(t)$ und $b(t)$ die $x$-Koordinate bzw. die $y$-Koordinate der Hochpunkte in Abhängigkeit von $t$ darstellen. Mit: $$ x = a(t) \textrm{ und } y = b(t) $$
kannst Du dann die erste Gleichung nach t auflösen und das Ergebnis in die zweite Gleichung einsetzen, was eine Gleichung mit $y$ und $x$ ergibt. Das ist dann die Funktionsgleichung der Ortskurve aller Hochpunkte.
Beispiel
Es wird die Ortskurve aller Hochpunkte der Funktionenschar $f_t(x) = -x^2 + tx + t$ bestimmt, wobei $H(\frac{1}{2}t|\frac{1}{4}t^2 + t)$ alle Hochpunkte der Schar sind. Es gilt also für den $x$- bzw. y-Wert: $$ x = \frac{1}{2}t \textrm{ und } y = \frac{1}{4}t^2 + t $$
Die erste Gleichung ergibt nach $t$ aufgelöst $t = 2x$, was beim Einsetzen in die zweite Gleichung zur Ortskurve $y = \frac{1}{4}(2x)^2 + 2x = x^2 + 2x$ führt.
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