Keplersche Fassregel Erklärung und Beispiel

07 Juni 2023

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Erklärung

Oft ist es schwierig, für eine Funktion $f$ die dazugehörige Stammfunktion zu finden. In solchen Fällen ermöglicht die Keplersche Fassregel die Berechnung eines Näherungswertes für das bestimmte Integral $\int_{a}^{b}{f(x)}dx$.
Die Näherungsformel hat die Form: $$ \int_{a}^{b}{f(x)}dx \thickapprox \frac{b-a}{6}\left[ f(a) + 4f \left(\frac{a+b}{2} + f(b)\right) \right] $$

Du setzt also die Grenzen $a$ und $b$ und deren Mittelwert $\frac{a+b}{2}$ in die rechte Seite der Formel ein, und erhältst ohne eine Stammfunktion suchen zu müssen einen Näherungswert für das bestimmte Integral.

Beispiel

Wir berechnen einen Näherungswert für das bestimmte Integral $\int_{0}^{1}{\frac{1}{x^2+1}}dx$. Mit $a = 0$, $b = 1$ und $\frac{a+b}{2} = \frac{1}{2}$ ergibt sich: $$ \int_{0}^{1}{\frac{1}{x^2+1}}dx \approx \frac{1-0}{6} \left[\frac{1}{0^2+1} + \frac{4}{\left(\frac{1}{2}^2+1 \right) } + \frac{1}{1^2+1} \right] \\ = \frac{47}{60} = 0,78\bar{3} $$

Zum Vergleich: Der exakte Wert ist $\int_{0}^{1}{\frac{1}{x^2+1}}dx = arctan 1 = 0,785$

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