Wendepunkte berechnen
Wendepunkte sind anschaulich gesehen solche Kurvenpunkte, bei denen die Funktion von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht, oder umgekehrt. Die Wendepunkte einer Funktion erhältst Du mit dem selben Schema wie bei den Extrempunkten, nur wird statt $f'$ jetzt $f''$ genommen, und $f''$ wird durch $f''$ ersetzt:
- Berechne die Nullstellen $x_k$ von $f''$.
- Setze die Nullstellen in $f'''$ ein. Ist $f'''(x_k) \neq 0$, dann ist dort ein Wendepunkt. Im Fall $f'''(x_k) = 0$ prüfst Du wie bei den Extrempunkten beschrieben, ob $f''$ hier einen Vorzeichenwechsel hat. Falls ja, dann ist bei $x_k$ ein Wendepunkt, wenn nicht, dann gibt es keinen.
- Setze alle erhaltenen Wendestellen $x_k$ in die Funktion $f$ ein, und schreibe jeden Wendepunkt als $W(x_k|f(x_k))$ auf.
Beispiel 1
Eine Funktion $f$ ist gegeben durch $f(x) = (x + 1)e^{-2x}$ und hat die Ableitungen $f'(x) = (-2x-1)e^{-2x}$, $f''(x) = 4xe^{-2x}$ und $f'''(x) = (8x+4)e 2x$.
Mit $f''(x) = 4xe^{-2x} = 0$ folgt dann $x = 0$. Wegen $f'''(0) = 4e^0 \neq 0$ ist dann bei $x = 0$ eine Wendestelle mit dem Funktionswert $f(0) = 1$, also der Wendepunkt $W(0|1)$.
Beispiel 2
Jetzt kommt noch ein Beispiel für eine Funktion ohne jeglichen Wendepunkt: $f(x) = 3x - \frac{2}{x^2}$. Die ersten drei Ableitungen sind $f'(x) = 3 + \frac{4}{x^3}$, $f''(x)= -\frac{12}{x^4}$ und $f'''(x)= \frac{48}{x^5}$. Aus $f''(x)=-\frac{12}{x^4}=0$ folgt nach Durchmultiplizieren mit dem Nenner $-12 = 0$, d.h.es gibt keine Lösung und damit keinen Wendepunkt.
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