Achsensymmetrie und Punktsymmetrie berechnen
Achsensymmetrie
Eine Funktion heißt achsensymmetrisch (zur $y-Achse$), wenn gilt: $$ f(-x) = f(x) $$
Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen und ganzrationale Funktionen, in denen gleichzeitig gerade und ungerade Exponenten auftauchen, sind nicht symmetrisch.
Beispiel 1
Ganzrationale Funktionen, in denen nur gerade Hochzahlen vorkommen (Dazu gehören auch von x unabhängigen Konstanten) sind achsensymmetrisch. Zum Beispiel gilt für: $ f(x) = -3x^4 - 2x^2 + {5}{2} $
$ f(-x) = -3(-x)^4 - 2(-x)^2 + 5 = -3x^4 - 2x^2 + 5 = f(x)$
Beispiel 2
Gebrochenrationale Funktionen, in denen entweder nur gerade, oder nur ungerade Hochzahlen vorkommen sind auch achsensymmetrisch. Das sieht bei $ f(x) = \frac{-x}{x^3 + 2x} $ so aus: $$ f(-x) = \frac{-(-x)}{(-x)^3+2(-x)} = \frac{-(-x)}{-x^3-2x} \\ = \frac{-(-x)}{-(x^3 + 2x)} = \frac{-x}{x^3+2x} = f(x) $$
Punktsymmetrie
Eine Funktion heißt punktsymmetrisch (zum Ursprung), wenn gilt: $$ f(-x) = -f(x) $$
Beispiel 1
Ganzrationale Funktionen in denen nur ungerade Hochzahlen vorkommen, sind punktsymmetrisch. Zum Beispiel gilt für $ f(x) = -\frac{1}{2}x^3 + 5x $: $$ f(-x) = -\frac{1}{2}(-x)^3 +5 (-x) = -\frac{1}{2}x^3 - 5x = -(-\frac{1}{2}x^3 + 5x) = -f(x) $$
Beispiel 2
Gebrochenrationale Funktionen, die im Zähler nur gerade Hochzahlen haben und im Nenner nur ungerade (oder umgekehrt), sind auch immer punktsymmetrisch. Bei $ f(x) = \frac{1+x^2}{4x}$ sind die Exponenten im Zähler alle gerade, der Exponent im Nenner ist ungerade $ (x = x^1) $, und es gilt: $$ f(-x) = \frac{1+(-x)^2}{4(-x)} = \frac{1+x^2}{-4x} \\ = -\frac{1+x^2}{4x} = -f(x) $$
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