Definition einer Reihe und Grenzwert einer Reihe
Definition einer Reihe
Eine Summe $\sum\limits_{k=0}^{\infty }{a_k} $ mit unendlich vielen Summanden bezeichnet man als Reihe. Sie konvergiert gegen einen Grenzwert: $$ s = \sum\limits_{k=0}^{\infty }{a_k} $$
wenn die Folge $(s_n)$ der Partialsummen $$ s = \sum\limits_{k=0}^{n }{a_k} $$
gegen $s$ konvergiert. Existiert kein Grenzwert, so bezeichnet man die Reihe als divergent. Der Grenzwert kann von der Reihenfolge der Summanden abhängen, bzw. braucht nach dem Umordnen nicht mehr zu existieren.
Notwendig für die Konvergenz einer Reihe ist, dass $$ \underset{n \rightarrow \infty}{ lim} a_n = 0 $$
Beispiel: Grenzwert einer Reihe bestimmen
Nur in wenigen Fällen ist die explizite Berechnung einer Reihe möglich. Ein Beispiel sind bestimmte Reihen mit rationalen Summanden wie $$ \sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{2}{n^2-1} } =\frac{3}{2} $$
Nach der Partialbruchzerlegung $$ \frac{2}{n^2-1} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} $$
lässt sich diese Reihe in der Form $$ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \\ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) + ... $$
schreiben. Bis auf $\frac{1}{1}$ und $\frac{1}{2}$ heben sich alle Summanden auf, so dass der Grenzwert $\frac{3}{2}$ unmittelbar abgelesen werden kann.
Für die Differenz der Partialsummen gilt für $n \lt m$: $$ \left|s_n - s_m\right| = \left|\left\lgroup\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right\rgroup + \left\lgroup\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right\rgroup + ... \\ + \left\lgroup\frac{1}{m-3} - \frac{1}{m-1} \right\rgroup + \left\lgroup\frac{1}{m-2} - \frac{1}{m} \right\rgroup + \right| \leq \frac{4}{n-1} $$
da sich die mittleren Terme aufheben. Die Partialsummen bilden also eine Cauchy-Folge: $$ \left|s_n - s_m\right| \lt \epsilon \textrm{ für } n \gt 1 + \frac{4}{\epsilon } $$
Die Differenz zum Grenzwert ist $$ \left|\frac{3}{2} - s_n \right| = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} \lt \frac{2}{n} $$
Das Beispiel zeigt auch, dass die Reihenfolge der Summanden im allgemeinen wesentlich ist. Wählt man die Reihenfolge $$ \left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \right) + \\ \left(\frac{1}{5} + ... + \frac{1}{8} - \frac{1}{5} \right) + \left(\frac{1}{9} +...+ \frac{1}{16} - \frac{1}{6} \right) + ... $$
so ist jeder Ausdruck in Klammern $\gt \frac{1}{4}$, die Reihe also divergent.
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