Harmonische Reihe

29 August 2020
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Erklärung

Die harmonische Reihe: $$ s = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... = \sum\limits_{k=1}^{\infty }{\frac{1}{k}} $$

divergiert bzw. hat den uneigentlichen Grenzwert $s = \infty$. Allgemeiner ist die Reihe $$ s_\alpha = \sum\limits_{k=1}^{\infty }{k^{-\alpha}} $$

für $\alpha \lt 1$ divergent und für $\alpha \gt 1$ konvergent. Einige spezielle Werte sind: $$ s_2 = \sum\limits_{k=1}^{\infty }{k^{-2}} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... = \frac{\pi^2}{6} \\ s_4 = \sum\limits_{k=1}^{\infty }{k^{-4}} = \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ... = \frac{\pi^4}{90} \\ $$

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