Cauchy-Kriterium für Reihen

29 August 2020
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Erklärung

Die Reihe $\sum\limits_{k=0}^{\infty }{a_k}$ konvergiert genau, dann wenn wenn für alle $ \epsilon \gt 0$ ein $n_\epsilon$ existiert, so dass für $ n \gt m \gt n_\epsilon$ gilt: $$ |a_{m+1} + a_{m+2} + ... + a_n| \lt \epsilon $$

Für die Partialsummen $s_n$ und $s_m$ ist $$ s_n - s_m = a_{m+1} + a_{m+2} + ... + a_n $$

also entspricht die obige Aussage dem Cauchy-Kriterium für Folgen: $$ s_n \textrm{ konvergiert } \Leftrightarrow s_n \textrm{ ist eine Cauchy-Folge } $$

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