Abstand Ebene-Ebene

08 November 2020
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Erklärung

Sind zwei Ebenen parallel zueinander, dann haben sie ebenfalls überall den gleichen Abstand.

Du ermittelst ihn, indem du einen beliebigen Punkt auf einer Ebene wählst und den Abstand von diesem Punkt zur anderen Ebene berechnest.

Grundsätzlich kann der Abstand zweier paralleler Ebenen auf zwei Arten berechnet werden:

  • mit der Hesse-Normalform 
  • mit einer Hilfsgeraden

Die Berechnung mit der Hesse-Normalform ist um einiges einfacher. 

 

Wie berechnet man den Abstand zweier Ebenen mit der Hesse Normalform?

  • Sind zwei parallele Ebenen $E_1$ und $E_2$ gegeben, so
  1. Bestimme die Hesse-Normalform (HNF) einer der Ebenen (z.B. $E_1$):
    • Für eine Ebene $E:\,ax_1+bx_2+cx_3+d=0$ in Koordinatenform gilt: $$\text{HNF}\quad E:\,\frac{ax_1+bx_2+cx_3+d}{|\vec{n}|}=0\quad\text{wobei}\quad\vec{n}=\left(\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}\right)$$
    • Für eine Ebene $E:\,\vec{x}=\vec{a}+p\cdot\vec{b}+q\cdot\vec{c}$ in Parameterform wird in Koordinatenform umgewandelt und dann wird wie zuvor verfahren.
    • Für eine Ebene $E:\,\vec{n}\circ[\vec{x}-\vec{a}]=0$ in Normalenform wird nur der Normalenvektor normiert, so dass folgt: $$\text{HNF}\quad E:\,\frac{1}{|\vec{n}|}\vec{n}\circ[\vec{x}-\vec{a}]$$
  2. Wähle einen beliebigen Punkt $P=(p_1,p_2,p_3)$ auf der anderen Ebene ($E_2$)
  3. Setzte diesen Punkt in die Hesse-Normalform der Ebene ($E_1$) ein. Dann entspricht der Betrag des Ergebnisses dem Abstand $d$. $$d(E_1,E_2)=\left|\frac{ap_1+bp_2+cp_3+d}{|\vec{n}|}\right|$$
  4. ) Sind zwei parallele Ebenen $E_1$ und $E_2$ gegeben und eine der Geraden ist in Normalenform oder wird in Normalenform umgewandelt (die Form der zweiten Ebene spielt keine Rolle), so berechnet man den Abstand $d$ mit einer Hilfsgeraden wie folgt:
    1. Bestimmen der Hilfsgeraden $h$ mittels eines Stützpunktes $P$ auf der Ebene in beliebiger Form und dem Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene in Normalenform. $$h:\,\vec{x}=\vec{P}+t\cdot\vec{n}$$
    2. Bestimmen des Schnittpunktes $S$ der Hilfsgerade $h$ mit der Ebene in Normalenform. Dazu setzt man die $x$-Koordinaten von $h$ in die Ebenengleichung ein und löst dann nach $t$ auf. Nutzt man das gefundene $t$ wiederum in der Geradengleichung, so erhält man den Schnittpunkt
    3. Abstandsberechnung der zwei Punkte $P$ und $S$. $$d(E_1,E_2)=d(P,S)=\left|\overline{PS}\right|$$
Bild
Abstand Ebene Ebene mit Hilfsgerade
Erklärung

Beispiel Übungsaufgabe: Abstandsberechnung mit Hesse-Normalform

Gegeben sind die parallelen Ebenen $E_1:\,2x_1−x_2−2x_3=6$ und $E_2:\,−x_1+0,5x_2+x_3=6$ in Koordinatenform.
Bestimme den Abstand $d$ der beiden Ebenen.

Lösung: Die Ebenen $E_1$ und $E_2$ haben einen Abstand von 6.

  1. Bestimmen der Hesse-Normalform: 
    Bestimmen des normierten Normalenvektors $\vec{n}_0=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ der Ebene $E_1$: $$ \text{Mit}\quad\vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\-1\\-2\end{matrix}\right)\quad\text{und}\quad|\vec{n}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{9}=3^\quad\text{folgt:} \\ \vec{n}_0=\left(\begin{matrix}2\\-1\\-2\end{matrix}\right)\cdot\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad\text{HNF}\,E_1:\,\frac{2x_1−x_2−2x_3-6}{3}=0 $$
  2. Wählen eines beliebigen Punktes auf $E_2$:
    Eine einfache Lösung der Koordinatenform folgt für z.B. $\vec{P}=\left(\begin{matrix}0\\0\\6\end{matrix}\right)$
  3. Einsetzten des Punktes in die Hesse-Normalenform: $$d(E_1,E_2)=\left|\frac{2\cdot0-0-2\cdot6-6}{3}\right|=|-6|=6$$

 

 

Beispiel Übungsaufgabe: Abstandsberechnung mit Hilfsgerade

Gegeben sind die zwei parallelen Ebenen $E_1:\,\left(\begin{matrix}-2\\3\\6\end{matrix}\right)\circ\left[\vec{x}-\left(\begin{matrix}0\\1\\2\end{matrix}\right)\right]=0\quad\text{und}\quad E_2:\,\left(\begin{matrix}1\\4\\2\end{matrix}\right)+r\cdot\left(\begin{matrix}3\\2\\0\end{matrix}\right)+s\cdot\left(\begin{matrix}0\\-2\\1\end{matrix}\right)$ in Normalen- und Parameterform.
Lösung: Die Ebenen $E_1$ und $E_2$ haben einen Abstand von 1.

  1. ) Um die Hilfsgerade aufzustellen benötigen wir einen Stützpunkt und einen Richtungsvektor. Wir benutzen den Aufpunkt $\vec{A}=\left(\begin{matrix}1\\4\\2\end{matrix}\right)$ der $E_2$ als Stützpunkt und den Normalenvektor $\vec{n}=\left(\begin{matrix}1\\4\\2\end{matrix}\right)$ von $E_1$ als Richtungsvektor und erhalten eine Gerade $h$ senkrecht zu beiden Ebenen durch den Aufpunkt von $E_2$: $$h:\,\vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\4\\2\end{matrix}\right)+r\cdot\left(\begin{matrix}-2\\3\\6\end{matrix}\right)$$
  2. ) Nun bestimmen wir den Schnittpunkt $S$ der Geraden $h$ mit $E_1$. Dazu setzen wir die Geradengleichung in die Normalenform von $E_1$ ein und lösen nach $r$ auf: $$ \left(\begin{matrix}-2\\3\\6\end{matrix}\right)\circ\left[\left(\begin{matrix}1\\4\\2\end{matrix}\right)+r\cdot\left(\begin{matrix}-2\\3\\6\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}0\\1\\2\end{matrix}\right)\right]=0\\ \left(\begin{matrix}-2\\3\\6\end{matrix}\right)\circ\left(\begin{matrix}1-2r\\3+3r\\6r\end{matrix}\right)=0\\ (−2)\cdot(1−2r)+3\cdot(3+3r)+6\cdot6r=0\\ 49r+7=0\quad\Rightarrow\quad r=-\frac{1}{7} $$ Benutzen wir dieses $r$ in der Geradengleichung, erhalten wir den Schnittpunkt $S$ mit der Ebene $E_1$ zu: $$\vec{S}=\left(\begin{matrix}1\\4\\2\end{matrix}\right)+\left(-\frac{1}{7}\right)\cdot\left(\begin{matrix}-2\\3\\6\end{matrix}\right)=\frac{1}{7}\cdot\left(\begin{matrix}9\\25\\8\end{matrix}\right)$$
  3. ) Der Abstand der Punkte $A$ und $S$ entspricht dem Abstand der beiden Ebenen: $$\overline{AS}=\vec{S}-\vec{A}=\frac{1}{7}\cdot\left(\begin{matrix}9\\25\\8\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}1\\4\\2\end{matrix}\right)=\frac{1}{7}\cdot\left(\begin{matrix}2\\-3\\-6\end{matrix}\right)\\ d=|\overline{AS}|=\sqrt{(\overline{AS})}=\frac{1}{7}\cdot\sqrt{2^2+(-3)^2+(-6)^2}=\frac{1}{7}\cdot\sqrt{49}=1 $$
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