Abstand Punkt-Ebene

29 August 2020

#Abstandsberechnung, #Analytische Geometrie

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Erklärung

Für den Abstand zwischen einem Punkt $P$ und einer Ebene $E$ brauchst Du zuerst die Hessesche Normalform der Ebene. Da setzt Du den Punkt ein und nimmst als Abstand den Betrag vom Ergebnis.

Das entspricht dann der Formel: $$ d(P;Q)=\left| \frac{ap_1 + bp_2 + cp_3 + d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \right| $$

Beispiel

Um den Abstand von zu berechnen, wird $P(1|1|0)$ zu $ -2x_1 + x_2 - 3x_3 - 5 = 0 $ zu berechnen, wird $P$ in die Hessesche Normalform eingesetzt und davon der Betrag genommen:

$$ d(P;E)=\left| \frac{(-2) \cdot 1 + 1 -3\cdot0-5}{\sqrt{14}} \right|=\left| - \frac{6}{\sqrt{14} } \right|=\frac{6}{\sqrt{14} } $$

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