Abstand Gerade-Gerade
1. Fall: die Geraden haben linear abhängige Richtungsvektoren.
- In diesem Fall bestimmst du den Abstand zwischen einer der beiden Geraden und dem Aufpunkt / Stützvektor der anderen Geraden.
- Ergibt sich ein Abstand von $0$, dann sind die Geraden identisch, ist der Abstand ungleich $0$, dann sind sie parallel.
2. Fall: die Geraden haben linear unabhängige Richtungsvektoren.
- In diesem Fall ist die Abstandsformel die einfachste Berechnung: $$ d(g;h)=\frac{|(\vec{v_1}\otimes \vec{v_2})\bullet (\vec{u_1}- \vec{u_2})|}{\left|\vec{v_1}\otimes \vec{v_2}\right| } $$
- Dabei sind $\vec{u_1}$ und $\vec{u_2}$ die Stützvektoren und $\vec{v_1}$ und $\vec{v_2}$ die Richtungsvektoren der zwei Geraden.
- Ergibt sich hier ein Abstand von $0$, dann haben die Geraden einen Schnittpunkt, ist der Abstand ungleich $0$, dann sind sie windschief.
Beispiel
Die folgenden Geraden haben linear unabhägige Richtungsvektoren: $$ g_1:\vec{x}=\left(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \right) + s\left(\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{matrix} \right), g_2:\vec{x}=\left(\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{matrix} \right) + t\left(\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) $$
Wir bestimmen also den Abstand vom Aufpunkt $P(2|0|3)$ von $g_1$ zur Geraden $g_2$. Damit ergibt sich für Abstand Punkt Gerade $d(g_1;g_2)=d(P;g_2)=\sqrt{42}$.
Die Geraden haben linear unabhängige Richtungsvektoren: $$ g_1:\vec{x}=\left(\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{matrix} \right) + s\left(\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{matrix} \right), g_2:\vec{x}=\left(\begin{matrix} 5 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right) + t\left(\begin{matrix} 0 \\ -5 \\ 3 \end{matrix} \right) $$ Mit $\vec{v_1} \otimes \vec{v_2} =\left(\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{matrix} \right) \otimes \left(\begin{matrix} 0 \\ -5 \\ 3 \end{matrix} \right) =\left(\begin{matrix} -13 \\ -6 \\ -10 \end{matrix} \right) $ und $ \vec{u_1} - \vec{u_2} =\vec{x}=\left(\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{matrix} \right) - \left(\begin{matrix} 5 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right) =\left(\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ 1 \end{matrix} \right) $ erhalten wir für den Abstand der Geraden: $$ d(g_1;g_2) =\frac{\left|\left(\begin{matrix} -13 \\ -6 \\ -10 \end{matrix} \right) - \left(\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ 1 \end{matrix} \right) \right| }{\left|\left(\begin{matrix} -13 \\ -6 \\ -10 \end{matrix} \right) \right| } \\ =\frac{\left|(-13)(-4)+(-6)(-4)+(-10)\right| }{\sqrt{(-13)^2+(-6)^2+(-10)^2} } =\frac{66}{\sqrt{305} } $$
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