Tangentialebene und Schnittkreisebene bei Kugeln
Eine Tangentialebene an eine Kugel ist eine Ebene, die mit dieser genau einen Punkt gemeinsam hat, dieser heißt dann Berührpunkt.
Ist $P$ ein Punkt auf oder innerhalb einer Kugel mit dem Mittelpunkt $M$ , dann lässt sich daraus die Gleichung der Tangentialebene an die Kugel durch den Berührpunkt $P$ aufstellen (falls $P$ auf der Kugel liegt) oder die Gleichung der Ebene, die die Kugel in einem Kreis mit dem Mittelpunkt $P$ schneidet (falls $P$ innerhalb der Kugel liegt).
In beiden Fällen hat die Ebene E die Normalenform:
$ E: \vec n \bullet (\vec x - \vec p) = 0 $ mit dem Normalenvektor $ \vec n = \vec m - \vec p $
Beispiel
$Q(0|1|4)$ und $P(2|0|4)$ liegen auf bzw. in der Kugel $K$ mit der Gleichung:
$$ K : (x_1 - 2)^2 + (x_2 +1)^2 + (x_3 - 5)^2 = 9 $$
Für die Normalenvektoren $ \vec n_1$ und $ \vec n_2$ der Tangentialebene $T$ durch $Q$ und der Schnittkreisebene $E$ durch $P$ wählen wir:
$$ \vec n_1 = \vec m - \vec q = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec n_2 = \vec m - \vec p = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Die Tangentialebene $T$ durch den Berührpunkt $Q$ hat deshalb die Gleichung
$$ T : \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \bullet \begin{bmatrix} \vec x - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} = 0 \Longleftrightarrow 2x_1 - 2x_2 +x_3 - 2 = 0 $$
und die Schnittkreisebene E durch den Schnittkreismittelpunkt P sieht so aus:
$$ E: \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \bullet \begin{bmatrix} \vec x - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} = 0 \Longleftrightarrow -x_2 + x_3 - 4 = 0 $$
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