Kurvendiskussion – Extrempunkte und Wendepunkte berechnen
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=GFTNbnqROOw

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr Lieben heute möchte ich folgende Aufgabe mit euch durchgehen bestimme die Koordinaten aller extrem und Wendepunkte des Grafen der Funktion
0:08 f mit F vonx was so aussieht wir sollen also alle Extrempunkte und alle Wendepunkte finden und die Koordinaten davon angeben da die rede hier von
0:19 Punkten ist ist also die x-Koordinate und die ykoordinate von diesen Punkten gesucht bevor wir jetzt an die Berechnung gehen lass uns das mal ganz
0:27 kurz zeichnen wie unsere Funktion aus sieht damit wir schon mal wissen was wir überhaupt suchen wir sollen alle Extrempunkte suchen also alle hoch und
0:35 Tiefpunkte Hochpunkt wä einmal hier Tiefpunkt W einmal hier also zwei Extrempunkte sind schon mal gesucht und alle Wendepunkte das heißt wenn wir
0:44 unsere Funktion ablaufen haben wir hier so eine Rechtskurve und ungefähr hier wandelt sich das Ganze in eine Linkskurve das bedeutet hier werden wir
0:53 einen Wendepunkt finden dann gehen wir mal ran an die Berechnung lass uns mal mit den Extrempunkten zuerst starten wir haben ein bisschen was vor um
1:02 Extrempunkte zu finden können wir das ganze mit diesen vier Schritten hier abarbeiten als allererstes suchen wir mal die erste und zweite Ableitung von
1:10 unserer Funktion okay das ist unsere Funktion die leiten wir jetzt einmal ab wir schauen uns mal an wie unsere Funktion überhaupt aufgebaut ist hier
1:20 vorne haben wir einen Teil dann kommt ein Minus und dann kommt ein zweiter Teil das heißt diese beiden Teile können wir getrennt voneinander ableiten zuerst
1:30 kümmern wir uns um den Teil und getrennt davon danach dann um diesen Teil wie sieht's hier vorne mit dem Teil aus der setzt sich jetzt wiederum zusammen aus
1:39 einer Zahl multipliziert mit dieser Klammer hier eine Zahl die multipliziert wird die ist easy weil die wird einfach beim Ableiten übernommen so ein Faktor
1:49 bleibt einfach erhalten anders sieht's aus wenn hier ein plus oder minus gestanden hätte dann würde diese Zahl hier wegfallen aber wenn mal dabei steht
1:57 dann bleibt es einfach wie seeht jetzt hier mit dieser Klammer aus wir haben in der Klammer etwas stehen und dann haben wir diese Klammer hoch 3 das ist eine
2:08 ineinander verschachtelte Funktion und hierfür brauchen wir dann die Kettenregel die sagt ja leite die äußere Funktion einmal ab und multipliziere das
2:18 dann noch mit der inneren Ableitung die man gerne mal vergisst aber wenn wir das orangene jetzt erstmal ableiten nur diese Klammer hoch 3 da ist die Regel ja
2:28 so dass die Hochzahl nach vorne wandert also die drei kommt nach vorne dann schreibt man das Innere einfach so ab das fasst man gar nicht an wenn man die
2:38 äußere Ableitung bildet und dann wir die Hochzahl ja eins kleiner gemacht also zu einer Z das war jetzt nur die äußere Ableitung von diesem orangenen teil und
2:47 laut der Kettenregel muss man jetzt noch die innere Ableitung bilden also dieses grüne einmal ableiten X - 5 wie sieht's da aus x abgeleitet das ist ja ein X was
2:59 da steht da ist die Regel ja so dass das X einfach wegfällt und nur die Zahl die vorne dran Stand bleibt stehen das ist die 1 und -5 wenn da gar kein X mit drin
3:11 ist dann fällt das ja komplett weg also die innere Ableitung ist einfach nur 1 mal 1 können wir dann aber auch weglassen dann kommt das Minus und wir
3:20 leiten das hier mit genau derselben Regel ab wenn da nur ein X steht fällt das X beim Ableiten weg und nur die Zahl bleibt übrig das ist dann die
3:27 3 das ist die erste Ableitung die können wir hier vorne noch ein Ticken schöner machen 125 x 3 sind ja einfach
3:39 35 dann sieht das ganze schon mal schicker aus und das hier ist unsere erste Ableitung dann direkt die zweite
3:47 Ableitung aber die kriegen wir jetzt auf jeden Fall schneller hin weil die Regeln ihr seht es ist wieder genauso aufgebaut hier vorne die
3:55 325 bleiben einfach erhalten weil es ein Faktor ist wegen dem mal und die Klammer wird jetzt wieder so abgeleitet wie eben mit der Kettenregel man kann sich das
4:04 immer schön markieren die Hochzahl kommt nach vorne die Klammer wird einfach so abgeschrieben nichts geändert die Hochzahl wird eins kleiner gemacht hoch
4:13 ein oder könnt auch weglassen innen nicht vergessen haben wir aber eben gesehen dass es einfach nur eins ist daher können wir es in unserem Fall
4:22 jetzt weglassen und wie sieht's mit der -3 aus da ist kein X drin die fällt beim Ableiten einfach weg und das hier ist unsere Ableitung bzw 3 x 2 können wir
4:32 noch ein Ticken schöner machen zu einer 6 umformen und dann haben wir hier unsere zweite Ableitung die Klammer könnte man jetzt noch auflösen aber muss
4:42 man auch nicht also könnte auch so stehen lassen gut erste und zweite Ableitung haben wir gebildet ist meistens auch der längste Teil dann
4:50 schritt 2we wir setzen die erste Ableitung jetzt GLE 0 also wir schnappen uns unsere erste Ableitung die wir schon gebildet hatten und und setzen die g=ich
5:02 0 und lösen diese Gleichung jetzt nach X auf dazu können wir vielleicht die -3 nach links bringen indem wir + 3 rechnen dann verschwindet die hier 0 + 3 sind 3
5:16 dann sollte die 325 noch wegkommen indem wir durch diese Zahl Teilen links müssen wir also rechnen 3 geil durch diesen Bruch können wir machen wenn wir kein
5:28 Taschenrechner haben indem wir mal den Kehrwert rechnen also die 25 hoch die 3 runter dann kürzt sich das hier schön weg und nur die 25 bleibt auf
5:38 der linken Seite stehen hier verschwindet die Zahl und nur die Klammer bleibt stehen auf der rechten Seite so unser X ist immer noch in der
5:48 Klammer das heißt die Klammer muss weg das hoch 2 kriegen wir weg indem wir auf beiden Seiten die Wurzel ziehen beim Wurzelziehen denk dran dass zwei
5:57 Lösungen entstehen wenn wir in ein er Gleichung uns befinden auf der linken Seite haben wir also Plus und Minus die Wurzel von 25
6:08 die wir gleich auch ziehen können und rechts verschwindet dann aber dieses hoch 2 ganz schön und nur x- 5 bleibt stehen dann bringen wir die 5 mal noch
6:18 auf die andere Seite damit das X alleine steht indem wir + 5 rechnen dann steht das X alleine und hier haben wir +- W von 25 K wir jetzt mal berechnen
6:30 das sind 5 und dann noch die + 5 von der rechten Seite dazu dann haben wir also zwei Lösungen einmal + 5 + 5 das sind 10 und als
6:44 zweite Lösung -5 + 5 das hebt sich gerade weg das ist 0 zwei Lösungen wofür wir haben jetzt das war der zweite Schritt diese beiden Lösungen die wir
6:56 gefunden haben müssen wir jetzt noch mit der zweiten Ableitung prüfen denn wir wollen jetzt wissen die Kandidaten die wir jetzt da gefunden haben also dieses
7:04 bei x = 10 und x = 0 ist es ein Hochpunkt oder ist es ein Tiefpunkt oder ist es gar nichts davon aber wir hoffen einfach mal dass es gut ausgeht und wir
7:16 das mit der zweiten Ableitung schön überprüfen können was es ist das heißt einfach jetzt dieser x-Wert in die zweite Ableitung rein also die Z zuerst
7:26 prüfen mal berechnen da haben wir dann was für das X setzen wir 10 ein also 10 - 5 sind einfach nur 5 uns geht's jetzt gar nicht so sehr darum was da wirklich
7:40 rauskommt wir müssen nur entscheiden ist es größer als 0 oder ist es kleiner als 0 in unserem Fall ist es positiv ne da ist nirgends ein Minus zu sehen wenn die
7:51 zweite Ableitung größer als 0 ist also positiv ist wenn ihr euch so ein kleinen Smiley vorstellt dann habt ihr genau das was
7:59 hier zu sehen ist nämlich einen Tiefpunkt also wir haben bei x = 10 einen Tiefpunkt gefunden und dasselbe machen
8:08 wir jetzt noch mit der ull also auch in die zweite Ableitung rein mit der 0 625 mal 0 - 5 das sind -5 da sehen wir auch schon was positives wird mit was
8:24 negativen multipliziert das wird insgesamt negativ werden also haben wir hier so ein Drau en Smiley ist für uns aber ganz praktisch dann ist es nämlich
8:32 ein Hochpunkt so wie man das hier so schön sieht die Zahlen die ihr hier bei der zweiten Ableitung ausrechnet die sind völlig egal die könnt ihr danach
8:39 wieder vergessen es geht nur darum es ist ein Happy Smiley oder ein trauriger Smiley und dann wissen wir okay hier haben wir dann einen Hochpunkt an dieser
8:48 Stelle und damit haben wir jetzt die x-Koordinate von unserem Tiefpunkt berechnet und auch die x-Koordinate von unserem Hochpunkt fehlen jetzt nur noch
8:57 die zugehörigen ykoordinaten und das ist auch genau das was hier im vierten Schritt steht ykoordinate berechnen wororein kommen jetzt unsere
9:08 xwerte damit wir die y Werte berechnen können das ist ganz wichtig wird nämlich sehr häufig falsch gemacht dass man diese Werte jetzt irgendwo einsetzt wir
9:18 müssen aber noch mal ganz zurück zu unserer ursprünglichen Funktion y Werte berechnet man immer mit der ursprünglichen Funktion f vonx da für
9:27 jedes x wird wir jetzt unsere 10 zuerst mal eingesetzt also wir wollen F von 10 berechnen um die ykoordinate zu finden das heißt überall wo ein X ist wird eine
9:40 10 eingesetzt 10- 5 haben wir in der Klammer rechnen wir mal 10 - 5 sind 5 5 hoch 3 haben wir hier vorne also 5 x 5 x 5 können wir schon mal ausrechnen sind
9:52 125 nicht vergessen dass hier noch mehr steht 3 x 10 sind dann 30 die wir noch abziehen müssen ein xal 125 haben wir hier oben das sind 125 geil dur 25 sind
10:06 5 und 5 - 30 da landen wir im negativen Bereich bei -25 das ist unsere ykoordinate von unserem Tiefpunkt der hat die
10:18 x-Koordinate 10 und wie gesagt die ykoordinate -25 dasselbe mit dem Hochpunkt diesmal setzen wir die 0 ein also berechnen F
10:28 von 0 alles wo in X steht wird 0 eingesetzt 0- 5 sind -5 diesmal das ganze hoch 3 und hinten -3 x 0 das fällt weg -5 hoch 3
10:44 also -5-5-5 sind diesmal -125 wenn wir das durch 25 Teilen wird das Ergebnis negativ bei
10:55 -5 das ist die ykoordinate von unserem Hochpunkt der die x-Koordinate 0 hat und ykoordinate -5 damit haben wir die Extrempunkte
11:07 gefunden sind damit durch und jetzt warten nur noch die Wendepunkte die sind aber meistens leichter allerdings müssen wir jetzt die zweite und dritte
11:15 Ableitung erstmal bilden noch mal zurückkommen aber die zweite Ableitung hatten wir schon deswegen die dritte Ableitung jetzt einmal noch hinterher
11:25 wie sieht's hier aus hier haben wir jetzt nur eine Zahl mal die Zahl bleibt beim Ableiten einfach erhalten weil die mit einem Mal verbunden ist wie sieht's
11:34 in der Klammer aus also was passiert jetzt mit der Klammer wenn wir die jetzt einfach ableiten da ist ja kein hoch Zahl mehr sondern wirklich nur die
11:41 Klammer wird einfach abgeleitet einmal x abgeleitet ist 1 -5 da ist gar kein X drin fällt weg also die Klammer ist nur mal 1 also dieses mal 1 können wir dann
11:52 auch weglassen 625 ist unsere dritte Ableitung ja süß also ist sehr knapp ist aber der erste Punkt und dann haben wir das schon mal zweiter Punkt wir setzen
12:02 die zweite Ableitung diesmal g=ich 0 bei Extrempunkten ist es die erste Ableitung bei Wendepunkten macht man dasselbe mit der zweiten Ableitung da steht sie wir
12:12 setzen sie g=ich 0 und lösen die jetzt nach X auf ist aber Gott sei Dank gar nicht so schwierig jetzt wir teilen mal durch
12:23 65 das praktische ist dass links eine ull steht also 0 geteilt durch eine Zahl ist immer noch 0 rechts steht dann nur noch das was in der Klammer stand und
12:34 dann müssen wir nur noch + 5 rechnen also ihr seht es ist deutlich einfacher als bei den Extrempunkten x = 5 ist jetzt unser Kandidat für einen
12:44 Wendepunkt den müssen wir jetzt aber noch mit der dritten Ableitung überprüfen das heißt unser x = 5 setzen wir wie eben die ganze Zeit dann jetzt
12:54 in die dritte Ableitung ein die fünf da rein das Ding ist wenn da kein X vorkommt wird sich auch nichts verändern das ist
13:04 absoluter Jackpot wenn da kein X drin ist müss ihr gar nichts rechnen das bleibt einfach bei 625 wichtig ist nur ob das hier jetzt
13:14 ungleich n0 ist wenn es das ist bei der dritten Ableitung dann wisst ihr dass ihr an dieser Stelle einen Wendepunkt habt also bei X = 5 ist ein Wendepunkt
13:24 und jetzt müssen wir nur die ykoordinate noch berechnen das war der Schritt und die y-Koordinate ist der letzte Schritt wir wissen aber schon wie es geht wieder
13:33 hier genauso wenn ihr eine ykoordinate berechnen wollt geht wieder zurück zur ursprünglichen Funktion zu F vonx da setzen wir jetzt für jedes x dann 5 ein
13:43 berechnen also F von 5 ihr seht wenn man das so durchgerattert hat geht das relativ schnell einfach alles ersetzen was haben wir hier 5- 5 oh das wird 0 0
13:56 hoch 3 ist immer noch 0 hinten haben wir 3 x 5 das sind dann 15 das hier wird zu 0 und insgesamt haben wir dann als Ergebnis - 15 das ist unser Wendepunkt
14:08 unser Wendepunkt hat die Koordinaten 5 von der x-Koordinate und -15 von der ykoordinate wir haben es geschafft sehr gut dann hoffe ich dass es euch geholfen
14:19 hat falls ihr Fragen habt schreibt sie in die Kommentare ansonsten euch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut